Fragmenta ex Adversartts depromta. 217 



Quodsi jam hic restituamus affz=a et ^gg = b, colligitur a;*-*-y*-H«*= — a6 (aa-i-66). Quaeritur . ergo num 

 huic aequationi satisfieri possit; tum autem fiet 



n = -^a^, s = 2nfg vel a^fg, et P^^» ? = ^ et r = '^, 



atque hinc porro A = a-~b et JS = a-+-6, B = 2x^ C=2y et D = 2z, 



verum ne his quidem ambagibus est opus, cum enim fieri debeat B*-i-C*-^D*=E* — A*. Statuatur 



A = a — b et E = a-+-b, fietque E*—A*=Sa^b~i-Sab^=Sab{aa-^bb), -miao loq J-nc 

 ergo utrinque per 16 dividendo prodit 



1 , , „, B*-*-C*-*-D* 4 4 4 



^ oA (aa -4- bb) = j^ = x*-+- y*-4- z*. 



2 16 



A. m. T. I. p. 281. 



51. 



11 



Notatu digna est haec formula: i-t-z — 2', quae fit qiiadratum sumto z= — , qui tamen valor per re- 

 gulas vulgares non elicitur. Hinc ista quaestio: 



Numerum 2 dividere in duas parles x et 2 — x, quarum productum 2x — xx sit numerus formae 

 z^ — z; tum enim erit i—2x-¥-xx = i-i-z—z^, ideoque 1 — x = V{i -^ z — z^). Sumto ergo 

 z = —, erit 1 — x = ^, hinc x=—, et ahera pars 2 — x = ^, quarum productum est 



o 440 , 3 1331 11 440 



2a;-a:ar = 2^, at vero z'-z = — -- = ^,. 



A. m. T. I. p. 295. 



Theorem4 I. Si p denotet numerum primum quemcunque, talis aequatio z^=py^±ppx^ semper est 

 impossibilis. 



Demonstratio. Quia enim esse deberet z^ divisibile per p, ideoque z=pA, unde fieret 



ppA^= y^ ± px^ , sive y^=:ppA^ ^= px?; 



foret igitur etiam y divisibilis per p. Sit ergo y=:pB, unde fieret ppB^=pA^zizx*, hinc ergo etiam x divi- 

 sibile esse debet per p; hincque ponatur x = pC; unde fiet ppC^ = A^ — pB^; foret igitur eodem modo A=pD, 

 foretque ppD^=pC^-t- B^, tum vero etiam B per p divisibilis esse deberet, porro etiam C, D, etc. in infinitum. 

 Hoc ergo modo singulae litterae z, y, x non solum per p, sed etiam per pp, per p^ atque adeo per j)°° de- 

 berent esse divisibiles; quod cum sit absurdum, veritas theorematis est evicta. 



Theorema U. Si numeri a, b, c fuerint primi ad p, ita ut nullus eorum per p sit divisibiUs, tum etiam 

 haec aequatio az^±bpy^±cppx^=0 semper esl impossibilis. 



Demonstratio. Quia enim a per p non est divisibile, z deberet esse divisibile, tum vero etiam pari 

 modo y et o;, sicque ad eandem aequationem perveniretur, unde patet impossibilitas, nti casu praecedente. 



CoROLLARiUM. Eadcm demonstratio qnoque habet locum, si p fuerit productum ex duobus vel pluribus 

 numeris primis diversis, veluti si sit p = 2.3, vel 3.5, vel 3.5.7, etc. ; ^ ^bnu 



L. Ealeri Op. posthnnu. T. I. . 28 



