218 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anthmetica. 



Theorema III. Si p sit vel nuraeruis primus, vel productum ex aliquot numeris primis diversis, tum 

 vero numeri a, b, c, d, etc. sint numeri ad p primi, tum etiam haec aequatio semper est impossibilis: 



Quia ob rationes superiores singuli numeri z, y, x, v, etc. non solum per p, sed per omnes potestates ipsius 

 p deberent esse divisibiles. Taliaque theoremata ad polestates altioi^es extendi possunt. ' 



NB. Hae autem demonstration6s vim perderent suam, si esset|) = l, quia omnes plane numeri divisibiles 

 sunt per omnes potestates ipsius i ji»H-+- i*»H ~ : ' J - 



A. m. T. II. p. 10. H. 



'■ '• ' 53. 



Problema. Reddere hanc formulam quadratum: {A-+- Bz) {a~^~bz^czz-t^dz^). 

 SoLUTio. Statuatur hoc quadratum = {A -i~ Bz)^ {p -t- qz)"^ fietque 



App -+- 2Apq ) -+- Aqq ) 



. . . — ai -t~ Bpp \z -t-2Bpq\zz 



-91 loq lolii/ Uixnfii lup , ^ = ^^ ( liiiiiii» ; ( 



** —b 1 — c 1 



:r^-«- 



ubi duae solutiones sunt considerandae, primo si «p = — , sumatur g=— — —, tum erit j& = ^ — —> 



4 24p Bqq — d 



Altera solutio locum habet si qq = — ; tum sumatur 



e — Aqq . a — App 



ifeu i.,ui»«M.j tti^i^*4» p = -^ eritque z = ^^^^-^-^^^^ 



Problema. Si proposila fuerit haec formula {A-k- Bz-%-Czz){a-\-bz-k-czz), eam reddere quadratum. 

 SoLUTio. Ponatur hoc quadratum =^pp{a-\-bz-\-czz)'^ fietque 

 ' A-\-Bz-\- Czz = ppa H- ppbz -i- ppczz. 



Hic ergo si fuerit pp= — , statim fit z = ^ . Secundo si fuerit pp = — , eril z = - ^^ ~ . 



'^^ a C — cpp ^^ c B — bpp 



** In ffenere autem si satisfaciat valor z = f, quo casu fit pp = — — -, tum semper alius valor potest 



a-t- bf-i- cff * * 



inveniri; quoniam enim habetur haec aequatio quadratica 



B — 6»» A — app _ 



ZZ — ^ 2 -+- ~ = 0, 



C — cpp C — cpp 



eaque per hypothesin radicem habeat z = f; erit quoque z = g existente 



ffcnp — 5 ^ — app 

 ~t-g=- — quam fg = ^ , 

 . ^ C—cpp ^ '"^ C — cpp 



irm i? ; ruii fiT --,1-r \ . • > 



unde duplici modo alter valor g reperitur. Hoc adhuc clarius ita ostendi potest. Cum esse debeat 



A-\-Bz-\- Czz =pp {a-\-bz-\- czz) , 

 tum vero A-\-Bf -\- Cff = kk {a -t- bf -t- cff) , 



semper alius valor pro z assignari potest, existente pariter p = k. Dividatur prior aequatio per posteriorem 



« , A-i-Bz-i-Czz a-t-bz-*-czz 



iietque - — - — = ; 



ofi«, ^,-,v rnrrt -M\4tt*^ ■ A-t-Bf-t-Cff a-+-bf-t-cff 



subtrahendo utrinque unitatem et dividendo per z — f prodit 



i I I j u B-*-C(z-t-f) b-t-c(z-t-f) 



A -+- Bf-^ Cff a -♦- bf-t- eff 

 unde f facile definitur. '*' '^•'^•^- ^**^ '^-^ ''^' '«-^* 



* - 



rSL 



