Fragmenta ex Adversariis depromfa. 219 



Hac methodo insuper duo alii valores reperiri possunt. Cum enim sit 



A-*-Bx-t- Cxx a -♦- 6« -t- exx 



multiplicetur utrinque per — , ut habeatur 



A-t-Bf-t-Cff a-t-bf-4-cff^ 

 r 

 Af-t- Bfi -+- Cfzz af-t- bfs -+- cfxx 



et «ublata unitate erit 



At H- Bfz -\- Cffi az -»- bfz -+- cffi 

 Aif-z)-^Cfk{z-f) aif-z)-^cfziz-f) 



sive 



Ax-^Bfi-t- Cffc az -H bfz -*- cffi 



A — Cfz a — cfz 



A -t- Bf-t- Cff a-t-bf-t-cff^ 



ff 

 unde tertius desumitur valor. Porro multiplicetur utrinque per — , ut sit 



" "»)«<} 5n'>i»fi/s ffl&»piiiut 



Aff-t- Bffx -t- Cffzz aff-t-bffz-t-cffzz ..,,,. . , , Aif-t-z)-t- Bfis a (f-t- z) -^ bfi 



— ^ -^z=— -^ ^— et unitate utnnque sublata -^ — -f — — ^= -^ '- l-. 



Azz -t- Bfzz -t- Cffzz azz -t- bfzz -t- cffzz ^ A-t-Bf-t-Cff a-t-bf-t-cff 



Horum valorum quilibet pro f assumtus praebebit duos novos valores, ita ut hoc modo infiniti valores reperiri 



2 -+- Sz — zz 

 queant. Sit A = 2, J? = 3, C= — 1, « = 3, b= — 1, c = 2, ut debeat esse — = n. Cui primo 



fj — * I' aXZ 



3 g { <2 (z -t- l) \ 



satisfacit z=l. Sit ergo f=i, erit secundo — = -^^ — — ^ , unde z=l; tertio 2-4-z = 3— 2z' 



1 1 



unde z = — ; quarto 2 -i- 2z -4- 3z = 3 h- 3s — z, unde 2 = — . 



o o 



Interim tamen haec methodus nihil plane juvat, sed tanlum duos valores ostendit. Cum enimfsit numerus 



j <, . . A-t- Bz-t-Czz a-t-bz-t-czz ,. . , . , . 



dennitus , aequatio — — — = — — ~ manifesto est aequatio quadratica determmata , quae tantum duos 



admittit valores. Interim tamen haec methodus cum successu adhibitur in resolutione hujus formulae simpli- 



. . 1 . , ,. /.^ 1 1 . • .. a-t-bz-t-czz pp , 



cioris a-^bz-^czz = vp, casusque constet, quo a -\- bf -\- cff = kk , erit iffitur — — = ff. Jam sumatur 



a-t- bf-t- eff kk 



primo pp = kk, fietque b-i-c{z-*~f) = 0, unde z = . Deinde sumatur j^ = j^ eritque 



■■«.1 r. Ji 7 • I* 



ppff=kkzz, ideoque aff -t- bffz -t- cffzz = azz -t- bfzz -*- cffzz , 



— af 

 unde fit a {f -i- z) ri~ bfz = atque z= 7^, 



qui posterior valor loco f assumtus denuo novum valorem praebet, et ita porro. 



Verum hoc casu solutio generalis ita reperiri potest. Sumatur p = k-i-i^[z — f), ut sit ^ ., . 



a-t-bz-t-czz kk -t- 'ila' iz — f) -t- w iz — A* ,^- , 



a-t-bf-t-cff kk 



— 4 -»^- 



Subtrahatur utrinque unitas eritque ~ - ** ~ 



b-t-eiz-t-f) 2*w-f-w(« — ^ , .. yaf — fiw — b — ef 



i- -^ = --^ , unde repentur z = , 



kk kk ^ c — vv 



^ . . k 



unde pnor ontur posito ^ = 0, postenor vero posito i' = — . 



A. m. T. II. p. 155. 156. 



34. 



Theorema. Si fuerit p numerus primus formae 4n-i-1, semper dabitur numerus x, minor qiiam n, ut 

 fiat px—i= D . 



Demonstratio. Cum sit p = 4n-i-l, erit p = aa~^bb. Jam quaeratur fractio — proxime aequalis 

 fraclioni — ita, ut sit ad — bc = ± 1, eritque x=zcc-^dd. Semper enim numeri c et rf infra semisses nume- 

 rorum a et 6 assignari possunt; tum autem erit px — l={ac-i-bd)*. Erit enim 



