220 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmettca. 



px={aa-^bb) {cc-t-dd^^iac^bdj^-i^iad — bc)^ 

 at ad — bc = ±i per hypothesin, unde px — i = {ac-t- bd)^. 



ExEMPLUM. Sit p=193, erit «=12 et b = T, porro c = 5 et «? = 3, unde fit 



x = 3h- eritque px — 1=81*. 



A. m, T. II. p. 167. 



35» 



ThEOREMA NUMERICUM PROFUNDISSIMAE INDAGmiS. 



Si m, n et z denotent numeros integrps positivos, tum ista formula 



k-mnz — m — n 

 nunquam evadere potest quadratum. 



Hoc theorema inde est derivatum, quod inter divisores formae mxx-t-ytj opcurrat formula 4mz-+-l, unde 

 sequitur, formulam k-mz — 1 nunquam esse posse divisorem illius formae mxx-t-yy, vel saltem hujus m-¥-yy, 

 unde haec aequatio {imz — i)n = m-i-yy 



semper erit impossibilis. Sit nz signum impossibilitatis eritque {k-mz — l)n — mznxjy sive {k-mz — i)n — mzc □• 

 Verum hoc fundamentum nondum est rigide demonstratum, ideoque demonstratio hujus theorematis plurimum 

 desideratur. Interim taraen evidens est ejus veritas casibus , quibus est m -t- w = 4t -h 2 , quia tum fit 

 hmnz — ki — 2 numerus impariter par, a quadrato abhorrens. Dein etiam casu m-i-n = 4«-i- 1, quia tum 

 prodit forma kmnz — ki — 1, sive forma h-A — 1, quae nunquam esse potest quadratum. Demonstrardi igitur 

 tantum restant duo casus, alter, quo m-i-n = 4«, alter vero, quo m-i-n = 4i-i-J, yel h-i — 1. Pro casu priore 

 m-\-n=ki sumi poterit m = 2i — /c et n = 2t-i-ft, unde erit {2i — k){2i-^U)z — VnzD, sive {h-ii — kh)z — tnzD. 

 Pro altero casu, quo m-f-M = 4t — 1 sumi poterit 



m = 2i — k et n = 2i-t-k — i, eritque h.{2i — k){2i-t~k—i)z — h-i-t-izr:n, 

 sive hoc modo ((4*— 1)'— (2/c— l)'^)^— 4i-f-l nz □ . 



Hinc innumerae formae speciales derivari possunt , veluti ex priore forma {Mi — kk) z — iziz d , unde casu i= 1 



prodit kz — Izcn, 3z — Izizn, qui per se sunt manifesti 



casu i=2: 16^ — 2zizn, 15^— 2i3z^, i2z — 2zizn, 7^ — 2zizd 



35z — 3nzD, 322— 3znD, 27z— "Szizd, 20^— 3z[ZD, lU — 3zz:n 

 63z — 4zizn, 602 — 4ziza, 55,? — 4z!ZD, 48^— 4zc:d, 39^ — 4ziz^ 

 152 — 4zizD. 



Hic autem veritas singularum ostendi potest, at vero ex principiis diversissimis. Eodem modo formulae 

 speciales ex altero casu oriundae 



((4t-l)^-(2fc— 1)2)2 — 4i-i-lzcD. 



sunl casu t=l casu i=2 



82 — 3 zr: D " 482 — 7 zn D 



402 - 7 zc □ 



»i.i;.i'i» u.uii'. 242 — 7zE:a 



eiHni \» j'j hafotm mii 



HiUV 



A. m. T. II. p. 2H. 212. 



