Fragmenta ex Adversariis depromta, 221 



56* <tdynf 'la» oih)i;b9i nottd fiiip .hiht.mviA 



Proposita hac formula ad quadratum reducenda: (97— pp)*-#-(ppvy— 1)'= D, statuatur q=zf-i-z., et per- 

 venietur ad aequationem, unde per regulas cognitas reperitur .^daf) iiiaaob ati ^ la «^ oyiA niH 



^= 3p^-l - ''"^^^* g= 3p*-l - 

 ubi p pro lubitu accipi pote«t, si modo excludantur casus p = Oetp = dtl. Ita sumto p = 2 fit q = j- 



M p = 3 tit 9=J2\' ^"^2 ^"^454" ««mto j) = 2 et ?=^ ent pp--qqz= , et ob 



p? = ^ erit ppgg — 1 = -^ . Quadratum ergo fieri debet 120^ 68^-*- 5^ 99*= 15^(8^ 68*-+- 33*) , quod con- 

 tinetur in forma kaabb-^{aa — bb)^. Fit enim 8.68=2a6 ergo a6=4. 68=16. 17 et 33=aa— 66=(aH-6)(a — 6). 

 Proposita tali formula qq{pp — i)^-i-pp{qq — i)^=n, duplex solutio institui potest: 



prior: ponatur q = np-+-n — 1, tum enim erit 5'-Hl=(p-+-l)n, mjui iH .kmAtiOdal 



u . "P-*-* * ; 4 (n-t-l)(p-*-l) ^ ^ (n-l)(p_l) 



aitera: ponatur o= — , tum enim ent o-+-l= -^ el q — 1 == ^ ~ -. 



p-t-n ^ p-+-n ^ p-i-n 



Praeterea notetur, hanc formam ad praecedentem {qq — PP)^-^{vPi9 — i)^ reduci ponendo p = fg et q = -^t 



unde etiam solutio praecedentis formulae hic adhiberi potest. Fluunt autem istae formulae ex solutione hujus pro- 



blematis aa-i-W=n, aa-+-cc=D, bb-\-cc = u. Primo enim sumatur 6=^-^^ — .a, erit aa-i-66 = (^^^^ j aa 



2p \ 2p / 



et c = ^^.a. Tertia formula evadet gg(^-l)^-+-pp (^^-l)^ AUera solutio ita se habel: Sumatur a = 2fg 

 et b=^ff — gg, satisfiet primae conditioni. Pro secunda statuatur 



c = ffgg—\; erit enim aa-i-cc = 2ffgg~i-f*g*-i-t. 

 Tertia ergo postulat, ut sit 



iff-gg^-^iffgg-^^r^o. 



A. m. T. III. p. 9. 



57. 



Problema. Formulam 2x*—y*= zz ad hanc 8p*-+-.j*=rr reducere. AiutairA iB obflwiiJadu* 



SoLUTio. Ponatur 2x*-i- y* =: i^ , erit i^u — z*=:Sx*y*, unde fit 8a;*t/*-+-2*= w, sicque eritp = a:y, q=z 

 et r = v = 2x*-\-y*. 



Generalius ergo hoc fieri potest, nempe si ax* — ^y*=:zz posito ax*-\- Py*=^v, erit 



vv — z*=^Sa^x*y*, ideoque vv = z*-\-Sa^x*y*. 



Problema. Formulam 8p*-+-^*=rr ad formam 2x* — y* = zz reducere. 



SoLUTio. Cum ergo.sit 8p*=rr — g*={r-*-gg){r — qq), manifestum est esse ^ et r numeros impares. 

 Hinc sequitur, numerorum r-\~qq et r — qq alterum fore impariter parem, alterum pariter parem, unde nascuntur 

 duo casus: • ^.1 



I. Sit r-\-qq impariter par =2«, alter vero r — qq pariter par =4/?; erit ergo 8p*=8a/?, ideoque 

 a^=^p*, unde quia a et /3 sunt primi inter se, uterque debet esse biquadratum. Sit ergo a = $* et /? = l*. 

 fiet p = st et r-i-qq = 2s* et r — qq = k-t*, unde oritur 2qq = 2s* — it* , sive ^'^^s*— 2<*. 



II. Sit r — qq impariter par =2a et r-t-qq pariter par =4/?, eritque 8p* = 8a/?, ideoque p* = a/?. Sit 

 nunc a = g* et /? = <*, eritque p = st; ac nunc r-\-qq = U* et r — J5 = 2«*, ideoque qq = 2t*—s*. Posteriore 

 ergo tantum casu reductio praescripta fieri potest. Interim tamen formula /'*-+-8^*=M semper ad formam 

 2a;*— y* reduci potest. Quod si enim sumatur x=f^-\-2fgg—gh et y=f*—\fgg-^gh, semper erit 2x*—y*=zz, 

 exktenie z = f^-^f*gg-\-2k.ffg*-'Sg^-&f^gh. ^%in9^ .>» 



