228 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmetica. 



,-.«.,. oacc — fcftdd 

 Problema. Invenire quatuor quadrata aa, bb, cc, dd, ut naec fractio nat quadratum -hh cc' 



SoLUTio duplex dari potest: Pro prlore ponatur c = ab, d = aa — 2bb, eritque 



ac-i-bd=2b{aa — bb), ac-^bd^^b^, ad-+-bc = a [aa — bb), ad—bc = a{aa - ^bb), 

 ..4 



erffo fieri debet ;;— ^ == □, sive tantum aa — 2bb = n. Pro altera solutione fiat a = cc-\-2dd, b = cd, 



* aa{aa — 3bb) 



tum enim fiet ac-i-bd=c{cc-^ddd),ac — bd = c{cc-i-dd), ad-+bc = 2d{cc-\-dd), ad — bc = 2d^, ergo fieri debet 

 ec{cc-t-3dd) 



— ^ j — - = n, sive tantum cc-i-3dd=a. 



4d* 



A. ra. T. III. p. 150. 



Problema. Ad quadralum reducere hanc formulam 



63. 



aabb — ccdd 



aacc — bbdd 



, SoLUTio. Ponatur b = ad, erit formula — ^ 3i^= ^- Ponatur porro c = aa — 2dd, erit formula 



• M»i ; ' aa{cc — d*) cc— d* '^ 



4aadd — 4d* , , j . • . n aa—dd 1 

 -^ — ; — ;, quae demto quadrato m numeratore ut -^ — - — — — Tm — 5Xi* 



1 

 Sumatur a = pp-\-dgq et d=2pq, erit forma - — _ .^ , bincque porro prodit 



■^ ". c = p* — 2ppqq -i~ dq* et b = 2pq{pp-t-3qq). 



Hic quaelibet positio solutionem suppeditat praecedentis problemalis (*). 



Sit p = i etq=l, erit a = /|., b = S, c = S, d = 2. 



Sitp = 2et? = l, erit a = 7, b=2S, c = n, (?=4,- 



unde oritur solutio supra data problematis praecedentis. 



S\tp = ietq = 2, erit a=13, 6 = 52, c = 137, c?=4. 



Sitp = 3et9=l, »***»^'* "^ erit a=12, b = 72, c = 72, d = G. 



Sit p = 2 et q=3, " ^ erit «=31, 6 = 372, c = 673, rf=12. ' S; ' * ; 



Sequenti autem modo praecedens problema ad praesens reducitur: Cum esse deoeat A* — B*=C*—D*, 



ponatur A-+-B = ax et A — B = (iy, tum vero C-i- D = yx, C — D = 8y, 



fiet «/? {aaxx -f- p^yy) = y8 {yyxx -+- 8dyy). 



XX yS ciB 



Hinc oritur — = a ^ , „ , unde haud difficulter superior derivatur. 



A. m. T. III. p. 161. 162. 



(*) Resolutio hujus aequationis A* — B*=C* — D*. Comment. arithm T. I p. 473. 



64. 



Theorema. Si {uentJ[={a — bx)^{p'-qx)^-¥'{c — dx)'^{r — 8x)^—nn{a — bx)*{c — dx)^, statim sex valores 

 habentur, quibus X fit quadratum. 



Primo enim fiet X={a—'bx)^{p — qx)'^, si fuerit c — dx = Of ideoque a; = — , et si fuerit 

 {r — sx)^ — nn{a — 6a;)^=0, hoc est r — sx = ±n{a — bx). 

 Simili modo fiet X = {c — dx)'^ {r — sx)^ faciendo a — 6a; = 0, seu x=^; tum vero si />•— ^-a; = ±«(c — «te). 



^ -• ^ ^ A. m. T. III. p. 166. 



Ml ^ .m T .m .A 



