Fragmenta ex Adversartts depromta, 229 



Theorema. Ut in quadrilatero, circulo inscripto, quatuor latera a, b, c, d cum ambabus diagonalibus x et 

 y numeris rationalibus e\primantur, necesse e«t, ut hoc productum {ab -\- cd) iac -^- bd) [ad -^ bc) reddatur qua- 

 dratnm. Quod fiet snmtis quinque numeris pro Inbitu f, g, h, p, q, si capiatur ;} um 



a = f9h{qq—pp), b=zg{fp-^gq)^—hhqq, c = 2fghpq-^h{ff-t-gg — hh)qq, d= f{gp-^fq)*^hkqq, 



tum enim erit x = f{fg{pp~+-qq) -H {ff-+-gg — hh) pq) ^_^ ^,,^^_^^^ ^^^^, 



y =9 {f9iPP-*-99) -+■ {ff-^99 — hh)pq). 

 Sin autem insuper requiratur, ut etiam area quadrilateri fial rationalis, tum hanc formulam quadratum esse 

 oportet {a-^b-k-c — d){a-\-b-^d — c){a-^c-k-d — ft) (6-f-c-i-rf— a)v*i« = M ,•?« = » , ^- =r -- 



quod autem per illas formulas nullo modo effici polest. At vero sequens problema generaliter resolvi potest: 



Dato circulo polygonum quotcunque laterum inscribere, cujus omnia latera una eum omnibus dia- 

 gonalibus, atque adeo area numeris rationalibus exprimantur. 

 SoLUTio. (Fig. 1.) Posito radio circuli =1 sint arcus AB = 2A, BC = 2B, CD = 2C, etc, eritque latus 



AB = 2sinA, BC=2smB, CD = 2smC, etc. 

 Tantum ergo opiis est, ut horum angulorum sinus sint rationales, simulqiie etiam cosinus, ut etiam diago- 

 nales fiant rationales, si quidem est 



AC = 2 sin (i4 -H ^) = 2 sin A cos 5-4-2 cos A sin B. 



At vero si fuerit sinj4 = — , erit cos .4 = — ; tales igitur formulae pro sinibus et cosinibus accipiantur, 



hocque modo non solum omnia latera, sed etiam diagonales fient rationales atque adeo area, cum posito centro 

 fiit area AAOB =: sm A cos A , quod de omnibus reliquis valet. Possunt enim singuli hi anguli 2yl, 2B, elc. 



usque ad ultimum pro lubitu assumi, ultimi vero sinus erit sinus summae reliquorum, et cosinus = cosimii 



fiummae reliquorum. 



A. m. T. UI. p. 159. 160. 



n 

 66. 



{Lexell.) ' 



Theorema. Si a fuerit numerus quicunque non quadratus, ei b ei c numeri quicunque ad illum primi, 

 tum ista formula a {bbx* -^ aaccy*] 



nunquam &sse potest quadratum. ' , , 



Demonstratio. Hic a.ssumi potest numerum a etiam per nullum quadratum e&se divisibllem, si enim 



esset a = aff, quadratum esse deberet a{bbx*-t-aaccf*y*), ubi si loco fy scribatur y, habetur formula prior, 



quin ^tiam numeri a; et y sunt primi inter se. Quoniam igitur a est factor nostrae formae, necesse est, ut 



alter factor bbx* -\- aaccy^ etiam habeat factorem a, sed pars posterior jam habet factorem a, ergo pars prior 



erit divisibilis per a, ex quo x factorem habebit a, ideoque y non erit divisibile per a. Ponatur ergo x = az, 



atque nunc haec forma quadratum esse debebit 



a{bba* z*-^aaccy*), seu a{Jbibaaz*-^ccy*). 



Quod ob eandem rationem fieri nequit, nisi y esset divisibile per a, qui casus cum jam sit exclusus, formula 



nostra nullo modo quadratum esse poterit. 



A. m. T. I. p. 51. 



67. 



Varia conamina aequationis a^-\-b^=c^ impossibilitatem casu A>2 demonstranoi. 



1. {Lexell.) 

 Theorema. Non dantur tres numeri x, y, z, ut fiat xxy-\- xzz-^-yyz-sr.d. 



