230 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Aruhmetka. 



Sumi potest numeros x, y, z communem divisorem non habere; si enim haberent, per divisionem ex hac 

 aequalione tolleretur; interim tamen bini communem divisorem habere debent. Hinc ponatur a maximus cora- 

 munis divisor numerorum x ei y, b ipsorum x et z, et c ipsorum y el z, atque tam bini horum a, b, c erunt 

 inler se primi. Ponatur igitur x = ap, y = aq, eruntque p et q primi inter se. Deinde sit x = br et z=:bs. 

 denique y=ct et z = cu, ita ut sit x=^ap=:br, y=:aq=:ct, z=:bs=:cu, quibus valoribus substitutis for- 

 mula nostra est: abcprt -t- abcpsu -^ abcqts =: , sive prt-*-psu-t~qst=:0. 



Cum autem sit ap = br, sive — = — , erit p=:lb, r=:la; deinde — == — , unde q=.mc et t = ma, et ob 



r a t a 



$ c 



— = — , s=:nc, u=:nb, itai Mt sit x=:lab, y=:mac, z=.nbc; ubi notandum numeros mc, Ib esse inter se 



U 



primos, nec non Ib et nc, et ma et nc. Aequatio autem nostra hanc habebit formam: 



iiaino taUti Ilmaab-i~nnlbbc~i~mmncca=:0. 



Hinc ergo Ib divisor esse deberet membri mmncca, quod ob conditiones memoratas esse nequit. 



2. (J. A. Etder.) 



NB. Haec demonstratio non succedit. Caeterum hoc theorema huc redit, ut demonstretur esse non posse 



1 1 = 0. Hoc autem sequenti modo demonstrari posse videtur-. 



y z X * ^ 



Posito z = —, et nostra aequatio fiet — i h— =0, quae forma «imilis est propositae. Cum numeri 



V * y X V "■ 



a, y, z sint inaequales, sit z maximus, y medius et x minimus, sive negative, sive positive. Jam cum sit 



z=—, manifestum est fore ^-^^a?. Unde patet, si terni numeri z, y et x satisfecerint, tum etiam hos y, x 



. . . X^' 



et i^ satisfacturos, quorum y jam erit maximus, x medius et ^" miuimus. Ponatur jam y= —, eritque u<^i^, 

 quare etiam hi tres numeri x, v et u satisfacerent. Si porro ponatur x=:—, erit t <^u, atque etiam hi tres 

 V, u et t satisfacerent. Hocque modo continuo ad numeros minores perveniretur; quare cum in minimis hujus- 

 modi numeri non dentur, etiam in maximis tales non dantur. Manifestum vero est hos numeros semper fore 

 integros. 



CoROLLARiUM. Hoc modo demonstrari posset fieri non posse 1--- = 0. Si enim y^^j^ et ponatur 



y X 



y=—, erit s^<Cx, et tum prodit — i-— =^=0, quae posito denuo x = — daret u-iH^v et — h — = 0, quo 

 pacto iterum ad numeros continuo minores perveniretur. 



Eodem modo etiam demonstrari potest esse non posse — i v-- — l — =0. Posito enim s = — (ubi 



X y z V M 



si z fuerit numerus maximus et ^» minimus, « •^' erit v>) similis aequatio prodil scilicet 1 h- — -+- — = 



^ '^ V X y H 



CoROLLARiUM 2. Cum igitur aequatio xxy-^xzz-\~yyz=^0 sit impossibilis, inde vero prodeat 



_ yy±V{y^- Ax^ y) ""''"^"^' *^'"'"^' ^^*^ 



''^- ^ ' 



sequitur formulam y* — h-x^y quadratum nunquam esse posse. 



CoROLLARiuM 3. Ex aequatione supra allata pro quatuor numeris sequitur 



vi^yz -H xxzv -f- yyxi^ -i- zzxy = 



hinc ,v = -(^^^-*-yy^)^-"^ 



yz 



— x{xz-i-yy)dzV{xx{xz-*-yy]^ — 4z^yyx) 

 ex V = ) 



unde haec forroula xx [xz^i-yy^^^h-z^yyx nuflqiiam quadratum fieri potest. 



