Fragmenta ex Adversartts depromfa. 231 



Sit verbi gratia x — xet haec formula fiet 



xcr{xx-t-- t/y)* — h-x* yy , vel {x.r -4- j/y ) * — fkxxijy 

 NB. Verum nostrum theorema in casu quatuor numerorum non amplius locum habet, quia utique in 



minimis numeris casus dantur possibiles : veluti si fuerit z = x et t/ = — v». Quod ergo de quatuor 



numeris hic dictum est, neutiquam valet. 



Theorema. Neque summa neque difierentia duorum cuborum potest esse cubus. 



DEMOPfSTRATio I. Si p, ^ ct r denotent numeros integros, sive positivos sive negativos, demonstrandum 

 est hanc aequationem nullo modo subsistere posse: 



Tam enim dividendo per pqr foret Hhc ')hw 



^^lL^IL==o, ideoqueetiam ^ -4-i?!L -^ -^ = 

 qr pr pq * qqr prr ppq 



atque hinc etiam si ponamus ppq = x, qqr = y et rrp = z, foret 



y z X 



iH\ tam /riibvi'v,do 'm>iI ! i, 



Hoc autem nunquam fieri posse ante est demonslratum. 



Dewonstratio II. Demonstrabo hic hanc formulam ab{az*zb) cubum esse non posse. Primo enim nu- 

 meri a el i non solum integri sed etiam primi inter se assumi possunt. Quare cum hi tres factores a, b et 

 a:*zb sint inter se primi, unusquisque foret cubus, unde posito a = x^, b = y^, foret x^±ij^:=cubo. Quod 

 autem formula ab{a±b) cubus esse nequit, ita ostendo: Si esset cubus, ejus radix statui posset ~— . 



Tum ergo foret ab{a±b) = — ^-^ — - , vel n^ ab = w' (a pJp i>)i^= m^ {aa zt 2al ■+• bb). 



.... 66 



Hoc enim si esset, numeri a et fc forent inaequales. Sit igitur a major et b minor, et ponatur a= — , eritque 



n'6' / 6* 26' \ 



c<^b, tum aulem foret = m' ( — ± i~bb)j sive n^bc = m^{bb zt:2bc-+-cc), nhib^^e, 



C V CC C / 



ergo si porro ponatur 6 = ~- , erit c^ d, hincque iterura foret n^ cd = m' {cc dt 2cd -+- dd) ; hocque modo con- 

 tinuo ad numeros minores pervenirelur. Unde quia res in minimis numeris non succedit, etiam in maximis 

 succedere non posset. 



NB. Hic vero vitium ingens inest, quoniam ob numeros a et & inter se primos, c non est integer, neque 



etiam sequentes d, e, etc. Quocirca ex parvitate horum numerorum nihil concludi potest. Inlerim 



tamen etiam ne prior demonstratio valet, etsi enim omnes tres numeri non habent communem divi- 



sorem , lamen bini quivis necessario communem habent factorem. Quamobrem ex acqualitate 



y — XX — 2y , j . . y 



— == concludi nequit, esse z partem ipsius xy, quia fortasse fractio — ad minores ter- 



minos reduci potest, cujus demum denomiuator divisor esse debet ipsius xy. 



A. m. T. I. p. 51— 54. 



3. {Lexell.) 



Theorema Fermatii, quo neque summa cuborum potest esse cubus, neque summa duarum potestatum 



quintarum polestas quinta esse potest, net; in gencre summa duarum potestatum alliorum similis potestas altior, 



facile ila transformari potest, ut certae formulae quadrata esse nequeant. Si enim a^-+b^:=.c^, ponatur 



x-l-v = a' et X — 1/ = 6*, foretque ^x^a^-^b^^c^ et xx — i/j/ = a*6^ et 4xx = c'°;f kIuotioI 



. • 1. XX — iiy a*6* ., 

 hinc igilur foret — =—^q-, ideoque potestas qumta, pro qua scribalur 



