232 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ArMmetica. 



z^ xz^ . XX — yy xz^ 



-^, seu -,, itautforet -^^=-6'; 



multiplicetur per h-oc^, fietque 



x^ — x*yy = k-xz^, sive x^ — 4a72'=a7*yy = n . 



Quare si demonstrari posset formulam x^ — 4.rj/^ quadratum esse non posse, simul demonstratum est formulam 

 a^-^b' potestatem quintam esse non posse. Si enim esset x^ — h-xy^ quadratum, ob factores x {x^ — h-y^) inter 

 se primos, ulerque quadratum esse deberet. Sit igitur x=pi), et alter factor p^° — k-y' deberet esse quadratum, 

 pula qq; foret ergo 



P^^ — qq = iy^=k-r^s^=ip'-+-q){p^— q), ideoque p^-^q = 2r^ et p^ — 5^ = 2«^, 

 unde addendo foret 2p^=2r^-\-2s^ , sive p'^ = r^ -i- s'^ . 



Simili modo formula a^-h-b^=c^ transformabitur in hanc aequivalentem a?^— 4a7j/'=n . Hoc postremum theo- 

 rema eliam hoc modo repraesentari potest, ut nunquam fieri queat 



x^-i-{x-i~a)^={x-+-b)^, ubi manifesto b"^ a,^ mmxi 



Foret ergo x^={x-i~b)^ — {x-^a)^=3 {b — a) xx-+^ {bb — aa) x -i- b^ — a^ , 



demonstrandum ergo est hanc aequationem nunquam habere radicem rationalem. Ad hoc observetur, cum poste- 

 rius membrum factorem habeat b — a, eliam x^ talem factorem habere debet, et perspicuum est b — a vel esse 

 cubum, vel noncuplum cubi. 



Sit primo b—a = p, et erit x^=3pxx-\-3f^{b -\- a)x-t-f^{bb-t-ab~i-aa). 

 Ponatur ergo x=:fy, eritque y^=3ffyy-\- 3 {b -t- a) fy -i- bb-t-ab-t-aa, ideoque y debet esse factor formulae 

 bb -t- ab -h- aa. 



Sit secundo b — a = 9f^, et ultimum membrum fieret (ob b = df'^~t-a) 



9V'-»- 3 .9^«rH- 3.9aa/"3= 27f (27f -H 9af-i- 0«), 



unde fit a!'==27fa;a;-*-27f (6-4-a)a;^-27f^(27/"^-+-9a/'3-i-aa). 



Ponatur x = 3fy, erit y^= dffyy -h- dfy {b-i-a)-t- 21f^-+ daf^-t- aa. 



Pro utroque casu limites assignari possunt; pro priore enim manifesto est y ^ 3ff, et pro altero y ^ 9//, qui 

 limites sunt nimis parvi; nimis magni autem hoc modo reperientur: Consideretur aequatio in genere 



y—cctjy-i-[]y-i-y, > -" ' 



ubi a, ^, Y sint positivi, ac primo erit y^^a-, deinde cum sit y = a-t-^ ~i , si in membro posteriori 



loco y scribatur a, hoc membrum fit nimis magnum, erit ergo y<^aH-— -1 ; ponatur hic limes =X, ut 



3 y 



sit y <CX, eritque vicissim y = a'+--~-i~-j-j-- 



ExEMPLUM. Sit pro casu priori f=i et a = i, erit b = 2 et x = y, hinc y'^=3yy -i~9y ~i-7 , ubi 



statim 2/]>3, hinc 3/<C7, hinc J/^-^^, y<C5^7> radix ergo rationalis deberet esse 5, quae cum non sit 



7 31 



divisor ultimi lermini 



pag. 93. 94. 



iniiJfiJi».f»loq fliinittib £010 4. (W. L. Krafft.) 



Problema. Invenire numeros x et y inter se primos, ut formula x^-i-ny^ fiat numerus quadratus. 



SoLUTio. Si hi numeri non essent primi inter se, quaestio foret levissima; posito enim x=pr et y=^qr, 



formula nostra prodit r'(p'-i-ny'), quae aequetur quadrato r^ss, ila ut hinc statim fiat 



p^-i-nq^ , _^ p*-i-npq^ ^ p^ q-^nq* 



r = - i-, unde fit x = - — et y=— 



ss $s ss 



