Fragmenla ex Adversariis depromta. 233 



Quod uti est facillimum, ita casus, quo o; et i/ sint inter se primi, maxime est difficilis. Formulae istius factor 



simplex est x-l-t/Kn, et si a dcnotet unam radicem cubicam unitatis, ita ut sit a'=1, quam constat -t 



tum lertia radix cubica eril aa. Hinc formulae nostrae x^-^ny^ alius faclor simplex erit x-t-ayVn, ac tertius 



3 



x-t-aayVn; ita ut formula nostra futura sit productum horum trium factorum 



3 3 3 



(x -4- yVn) [x -»- ayVn) [x h- aayVn) , 



qui singuli factores reddantur quadrata, hoc modo, quo statim patet, si unus fuerit quadratus, etiam reliquos 

 fore quadratos. 



Posito enim x-¥-yVn = {p-i-qyn-^rynn)^y per naturam rei fiet 



3 3 3. 3. 3. 3 



X -h- ayyn = {p -i- aqyn -t- aary nn)'^ et a; -t-aayyn = (p-f-aa^Vn-i-arynn)*. 



Productum ergo, quod est x^-t-ny^, etiam erit quadratum, et quidem ralionale, quippe cujus radix erit 



p^-l-n^^-f-nnr^ — 3npqr. 

 Tantum igitur opus est, primam illam positionem supra datam evolvi, ex qua consequimur 



X -h- yyn =pp -i- ^pqVn -»- 2prynn 



3 3 



-i-2nqr-\-nrryn-t- qqynn, 

 unde statim sequitur fore x=pp-*-2nqr, y = 2pq-t-nrr. 



Praeterea vero esse oportet 2pr-t-qq=0, unde r = — -^. Sumatur ergo p = 2aa et r= — bb, ^etque q=2ab, 

 consequenter valores satisfacientes sunt 



x = ia{a^—nb^) et y = 6 (8a' — ni^). 



Aliter. Si ponaturp = a« et r= — 266, erit q = 2ab et x=^a[a^ — 8n6') et y = 46(a^-4-n6^), ubi a et 

 b pro lubitu assumere licet. 



ExEMPLUM. Quaerantur duo cubi inter se primi x'^ et y^, quorum summa fiat quadratum, cujusmodi 

 quidem statim sunt obvii 1 et 8. Hic ob n = 1 , erit 



xz=a{a^—W) et y = 46 (a'-*-^^). 



Sit a = 3, 6 = i, erit a: = 57, y = \\2, quorum cuborum summa fit quadratum, cujus radix =1261. 



Sit a = 2, 6 = — 1, erit ar = 32, y = — 28, sive a? = 8, y = — 7. 



In hac tamen solutione, etsi generalis videtur, casus quo a? = 1 et y = 2 non continelur, cujus ratio sine 

 dubio in eo est quaerenda, quod hoc casu numerus n ipse sit cubus, ideoque irrationalitas evanescat. Quod 

 clarius patebit ex solutione magis directa, nam ut x^-\-y^ fiat quadratum, ponatur x-i-y=p et x — y = q, 

 ut sit a;=^^ et y=^-^, unde fit 



x^ I y3_ P^-^-3Pgg _ (PP-«-3gg)P '^ 

 4 4 



quae formula ut reddatur quadrata, debet esse p(pp-i-3<77) quadratum, unde si hi duo factores sint inter se 

 primi, uterque faclor quadratum es&e debet. Posterius vero tantum locum habet, si p divisibile sit per 3. 

 Hinc duos casus evolvi convenit. 



I. Sint hi factores inter se primi, atque ut pp-i-3qq fiat quadratum, vidimus sumi debere p = ff— 3gg et 



q = 2fg; at vero ut et p fiat quadratum, capiatur f=hh-t-3kk et g = 2hk. Ergo solutio hinc nata erit 



k 



L. Ealeri Op. pottbama. T. I. 30 



