234 /L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmettca. 



II. Sit p = 3r et formula nostra erit r(3rr-*-^g); fiat igitur qz=ff—^gg et r = 2fg; fiet 



Jam ut et r fiat quadralum, sumatur f=2hh et g=kk, ut fiat r=k-hhkk, ideoque p=i2hhkk et ^=4-/«*— 3ft*. 

 At vero etiam alia solutio pro hoc casu locum habet, ponendo q = — ^ — et r = fg; tum vero etiam f=hh 

 et g = kk. Sih=i=k, erii f=i el g = i, hinc 3^ = 1 et r = 1, ergop=3, x=2 et y = i, qui est 

 casus cognitus. 



In genere autem q = — - — et r = hhkk, p = 3hhkk, 



3A*-+-6AA«t — A* 6AMft — 3**-f-A^ 

 _, y = . 



4 



Supra observavimus, ut foret a^-t-b^^c^, fore quoque x^—h-ccz^^n et vicissim. Cum ergo quadratum 

 esse debeat x{a;^ — 4^'), unde uterque factor debet esse quadratum. Reddatur primo posterior x^ — ^z^ qua- 

 dratum, pro quo casu est n = — 4-, unde colligitur a? = a (a'-4- 326') et y = ib{a^ — h-b^). Ut ergo et a? fiat 

 quadratum, debet esse a{a^-t~32b^) = D, ergo uterque faclor deberet esse d, ideoque a'-+-326'=n. Loco 2b 

 scribamus — c et formula erit a^a^ — 4c'); quocirca si in maximis numeris formula x {x^ — ^z^) esset a, hoc 

 modo ad aliam similem forraulam deveniretur a{a^ — 4c') etiam quadratum, ubi numeri a et c manifesto multo 

 forent minores, quam illi x et y. Deinde ex his a et c simili modo deduceremur ad alios multo minores, pula 

 d et e, ita ut similis forma d{d^—h-e^) esset n et ita porro; unde certe proditura esset in minimis numeris 

 talis forma quadratum; quare cum in minimis numeris talis forma non detur, re in maximis quidem taHs existit. 

 Casus autem obvius, quo e = 0, hic nullam facit exceptionem; ad eum enim perveniri non potest, nisi jam in 

 prima forma fuerit ;s = 0, qui casus ne in quaestionem quidem cadit. 



Problema. Reddere formulam x^-^ny^ cubum. 



SoLUTio. Statim mcnifestum est, ad hoc statui oportere 



X -i- yyn =: {p -t- qyn -^ rVnn)^ ; 



tum enim ipsius formulae x^-i-ny^ radix cubica erit p^-h-nq^-^nnr^ — ^npqr. Facla autem evolutione reperietur 



3 

 x-t-yyn=p^ -+-3ppq ] -4- 3ppr ) 



-H Qnpqr -+- 3np rr v yn -i- ^pqq \ ynn 



-\-nq^ -\-inqqr\ H- Sn^rr \ 



-^nnr^ 



* 

 IdM X = p^ -\- ^npqr -\- nq^ -\- nnr^ 



y=: ^ppq -+• 3nprr -\- 3nqqr 



= 3i)pr -\- 3pqq -\- ^nqrr^ 



__..„, - —qqdtzViq^^—Anqr^) 

 ex qua" aequatione fit p= — ~ ^^ — f 



unde quadratum esse deberet formula qiq^ — 4nr'), ideoque uterque factor seorsim. Sit ergo q = 8s debetque 

 esse «^— 4«r'= n =«, sive s®-t-« = 4nr'=4n/"'p'. Fial ergo s^-\-l = 2f^ ei s^-^t = 2ng^, unde oritur 

 s^ = f^-\-ng^, quae formula similis est ipsi propositae, ubi litterae f et g sine dubio mullo sunt minores quam 

 X et y. Quare si in minimis numeris lahs casus non datur, ne in maximis quidem dabitur. 



p. 99- 103. 



"'V\ - - n ''"'''' ' 



5. (Lexell.) 



I!! '.<: -M.ljf 



Ad Theorema Fermatii supra memoratum, quo aequahtas a^-\-b^=c^ locum habere nequit praeler 

 casus X=i et A=!2, reductio ibi tradita hoc modo facillime obtinetur: Si esset c^=a^~\-b^, foret 



