Fragmenta ex Adversariis depromtd, 235 



ideoque pro ab posito d, talis formula c^^—kd^ deberet esse quadratum, cujus igitur impossibilitatera ostendi 

 oportet, praeter casus A = 1 et A = 2. 



CoROLLARiuM. Simili modo ex formula b^=c^—a^ deducitur 



ft2>t^- h.c^a^= [c^ + a^Y= D , 



quin etiam a^^~\-kc^b^=.u, quae ergo formulae etiam sunt impossibiles. Demonstratio pro casu saltem A=3 

 ita tentetur: Cum sit a'-f-6'=c', erit (a-4-6) (oa — a6-4-66)=c^, quos factores ut primos inter se spectemus, cum 

 casus, quo divisorem communem habent 3, nullam novam difQcullatem implicet. Sit igitur uterque cubus a-\-b-=f^ 

 et aa— a6-f-W = /*', fietque c = Pp; tum vero erit j)®— P'=3a6, deinde ob i!>'=c'— a'=(c — a)(cc-f-ac-Haa), 

 fiat iterum c — a = g' et cc-f-ac-f-aa= iP^, fietque b = Qq et Q^ — 5'=3ac, 



denique ob a^=c* — b^={c — b){cc-t~bc-h-bb) sit c — b=r^ et cc-4-6c-h66 = /?' unde a = Rr et R^ — r'= 36c. 

 Introductis igilur litteris p, q, r et P, Q, R, ob c=Pp, b=Qq et a=Rr, sequenles conditiones sunt adimplendae: 



I. p^=Rr-t-Qq, II. q^^Pp — Rr, III. r^ = Pp — Qq, 



IV. P^=RRrr — RrQq-\-QQqq, V. Q^ = PPpp-t-PpRr-\- RRrr, VI. R^ = PPpp -\- PpQq -i- QQqq , 

 quibus praeterea adjungere licet 



Vll. p^—P^ = 3QqRr, Ylll. Q^ — q^=3PpRr, IX. R^^r^=3PpQq. 



Denique etiam notasse juvabit Q^ — P^= [c — b) {a -\- e — b)=- {Pp -f- Qq) {Rr -\- Pp — Qq). Totum ergo negotium 

 huc redit, ut in his conditionibus contradictio detegatur. 



p. 113. 



6. 



Theorema demonstranoum. Non dantur plures quantitates rationales veluti A, B, C, D, elc. quarum 

 summa A -t- B -i- C -\- D etc. per productum ABCD etc. multiplicata producat unitatem. Sive si hoc signum =c 

 denotet impossibilitatem aequalitatis , Iheorema hoc compleclitur sequentes formas: 



I. AB{A-\-B)zni, II. ABC{A-\~B-\-C)zizl, III. ABCD{A-i- B^C-\-D)ool, etc. 



Hae formae etiam ita exhiberi possunt 



Hinc si postremae formulae fractae referantur littera 0, sequentes formae sunt notatu dignae: 



I. A-h-BznO existente ABO=t, II. A-\-B-\~CznO existente ABCO=i, 



m. A -\- B -\- C -\- D ZLZ existente ABCDO=i, elc. 

 Porro quia litterae .4, B, C, sunt fracliones, si ponamus 



A = -^, B = ±., ^=-f » etc. 

 e a 



sequcntes habebunlur relationes impossibiles: 



,a b c T.o b c d 111« b e d e 



b e a b e d a b c d e a 



At si hujus theorematis demonstratio haberetur, inde facile sequentia theoremala demonstrari possent: 



Theoreua I. Summa duorum cuborum esse nequit cubus, sive p^-4-g'zizr^. i 



