236 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anihmetica. 



Demonstratio. Facta divisione per pqr, ut habeatur 



i^>i>fuf|ir infrpi »nmn pp qq rr 



1 m — — 1 



qr pr pq 



, , pp qq yj , . —^ pq 1 • i n ^ i • •••!• 



ubi si faciamus — = A, ^^- = 5, erit yl^=^— =-— j sive yl -i- 5 zc -— , quod cum impossibile sit, 

 qr pr rr O AB 



hujus thcorematis veritas est evicta. 



I5J. 



Theorema II. Summa trium biquadratorum biquadratum esse nequit, sive |)'*-t-g*-4-r'*ni«*. 

 Demonstratio. Facta divisione per pqrs habebitur 



p3 ^3 J.3 ^3 

 fi I . I , — p- 



qrs prs pqs pqr 

 A -*- B -i~ C zn: 



ubi manifesto est ABCO = 1 . Quod cum sit impossibile , etiam hoc theorema est demonstratum. 



Theorema III. Non dantur quatuor potestates quintae, quarum summa sit potestas quinta, sive 



' p^-+-q^-i-r^-i- s^znt^. 



Demonstratio. Facta divisione per productum pqrst et comparatione cum superioribus litteris A, B, 



C, D, instituta, hoc modo 



»* q* r* «* t* 

 s. |_ [ I -j- 



qrst prst pqst pqrt pqrs , 



A-i-B~t-C-^DnzO 



hic statim apparet esse ABCDO = 1 . Sicque etiam hoc theorema est demonstratum. 



Theorema generale. Existente n exponente potestatis, non dantur n — 1 tales potestates, quarum summa 

 esset similis potestas. 



''"''' Corollarium 1. Hinc multo minus n— 2, vel n — 3, vel n — 4, etc. tales potestates dantur, quarum 

 summa esset similis potestas. Hoc ergo modo theorema illud Fermatii in multo majori extensione adeo esset 

 demonstratum. 



Corollarium 2. Quia potestates impares aeque negativae ac positivae esse possunt, lilterae illae 

 p, q, r, s, sive A, B, C, D utcunque ratione signorum variare poterunt, id quod hoc modo referri potest: 

 I. ±p^z±zq^z±zr^zn.O, II. rtp^dt gr^ztr^zfcs^zt^^zcO etc. 



Corollarium 3. Hoc autem nullo modo valet pro potestatibus paribus, quoniam — p* non est potestas 

 quarta, unde hoc theorema non ad hanc formam debet extendi: p^-t-q* — r*=s*, quandoquidem statim in 

 oculos incurrit casu q=:r hanc aequationem subsistere non posse, quemadmodum modo supra vidimus talem 

 formam revera resolvi posse. 



Huic fragmento manu J. A. Euleri inscriptum: Hujus autem falsitas infra fusius ostendetur. 



pag. 115. 116. 



7. 



Ecce quatuor numeri, quorum tam summa quam productum unitati aequatur: 



i> ^ 4 .3 1 3 



, ", -'--5 -^-S' -*--2' -~T' -"2' 



unde superior illa conjectura omni fundamento deslituitur. 



Problema. Invenire quotcunque numeros, quorum summa multiplicata per productum producat unitatem. 



