238 , L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetka. 



'^- a(a-Hl)(/-^i) - y= it^ ■ ' «-=arbitr., c = yrf, 6 = /?(c-Hrf) = /J(y+!)d, 



a = a(^-+-1)(/-i-1)rf. 



12 5 



ExEMPLiJM. «=3=1, ft=l, erit /3 = 4=:y, dz^ — ^ c=: — , 6 = 2, «=o • Gonsequenter quatuor nu- 



meri sunt: -^, 2, — , — quorum summa est =5, et productum =-p-. 



i D lU 9 



4. Si desiderentur quinque numeri, ut sit «ftcrfe(a-i-6H*cH-«?-l-e) = 1 , ponatur 



d=8e, c = y[8-\-\)e, 6=/? (j/-h1)(5-i- 1) e, a = a (/?-i-l) (y-t- 1) (5 -f- l)e. 



Hinc summa omnium =(a-i-l) (/?H-1) (/-i-l) (5-i-l)e et productum a§y8{^-\-\){y-^\f[d-\-\fe^, 



■ ergo a/?j'5(cc-f-.l)(/?-Hl)*(j'-f-l)*(5-f-l)*e»=l. 

 Sumatur 5 = /? et 3/ = p|) — 1, erit «^/^(p;) — 1) (a-i-l)/(/5H-l)6e^=l. 



Sit p(/?-f-l)e=— eritque a/?/?(j)|) — 1) (a-*-l)=ft®. Fiat a(a-i-l) (j)p— l)=aagrg, inde a= ^^~ — -, a^q=k^, 



k^ » jfe3 4 3 1 



ergo /?= — . Slt|) = 2 et g^^S, hinc a = 3, /?= — . Ponatur & = 2, erit /?=— - = 5, «=^, rf = — > 



3,4 ^ ,. .-4313 28 



c = -j, 6=—, a = 7; consequenter qumque numeri 7, — , — , — , — , quorum summa est -^ el pro- 



ductum omnium — • 



<• - ■ .■:■._-. i\ 



Conjectura igitur supra proposita maxime fallit, ita ex casu ultimo, quo volebamus demonstrare non dari 

 quinque potestates sextas, quarum summa sit potestas sexta, tum demum demonstratio haberetur, si ostendi 

 posset, quinque illos numeros a, 6, c, rf, e nunquam ita definiri posse, ut eorum quilibet, per quemcunque 

 reliquorura divisus, praebeat potestatem sextam. Si igilur demonstrari ppsset omnes has fractiones 



a a a a 



T' ~T' IT' ~T 

 non esse posse potestates sextas, tum simul demonstratum esset, non dari quinque potestates sextas, potestati 

 sextae aequales. ' .'^'^'' e ,, 



.8. (J. A. Euler.) 

 Ad casum superiorem secundum pro tribus numeris, quo formula 



a/?(a-i-l)(/?-i-l)* 

 debet esse biquadratum, sumalur p = ia{a-+-\), eritque formula 



4aa(a-Hl)*(2a-4-l)* = -V, ergo 2a(a-i-l)(2a-+-l)*=-^ , sive 2a(a-i-l) = — -i— ^. 

 c* ° cc cc(2«-i-l)'' 



Debet ergo 2a(a-Hl) esse quadratum. Ponatur ergo 2a {a -+- \) = aapp , erit a= -, hincque fit 



pp — 2 



4pp 1 9p 4 pp — 2 ,. (pp-2)2 



(pp-2)=^ 0^(2^-4-1)=»' " pp-2 c(2a-t-l) c(pp-t-2)' 2p(pp-f-2) 



Porro 3 = , ^, , unde tres numeri erunt 



^ (pp-2)^ 



I .,_ flP-^2 T| r_ 4p (PP~2)^ 



P(PP-2) "• ''— pp-4-2' '"• "^ — 2p(pp-h2)* 



ExEMPLUM. Sip = 2fita=-, 6 = -r, c = — . Summa =3, productum=-. 



* o b o 



Eodem redeunt sequentes solutiones 



