Fragmenfa ex Adversarns depromia. 211 



9. (iV. FiMJ /.) 



Tentamen demonstrationis theorematis Fermatiani, quod esHe nequeat x"-+-}f=z", statim ac 

 n superat binarium. 



Pro casu n = 3 res eo redit, ut demonstretur hanc formulam ab{a-t-b) cubum osse non posse, ubi a et 6 

 «int [Jrimi inter se. Ponatur ergo ab{a-^b) = x^ eritque h^'^ b -t- h-aabb = i-ax^ , sive {aa-^2ab)^=iax^-t-a*, 

 unde aa-i-2ab = y{!^ax^-i-a*). Quoniam hic a? et a non sunt-^numeri primi inter se, sit d maximus eorum 

 comraunis divisor, ac ponatur a=dp et £C = (?2 , «icque jp et .s erunt primi inter se, et quia a et 6 etiam sunt 

 primi inter se, erit quoque b primus ad rf et p, tum igitur erit 



2dbp-t-ddpp = ddy{i^pz^-^p*), ideoque y{hfz^^p*)= — -*-pp- 



Erit ergo — .- numerus integer. Quia ergo 6 primus ad d, necesse est, ut — sit integer; ponatur ergo p=dq, 

 erit y{h-dqz^-^d*q*)=:2bq-t-ddqq. Unde quia radix factorem habet q, at z ad ^ primus, necesse ut d habeat 

 factorem. Sit ergo d=qr eritque y{h-qqrz^-i- q^r*) = 2bq^ q*rr, seu y{h-rz^-^q^r*) = 2b~i-q^rr. Sicque 

 erit r factor quantitatis post signum, dum alter factor est h-z^-t-q^r^, unde necesse est r = n. Sit ergo r=s8, 



erit y{k-z^-t-q^s^)=: t-q^s^. At vero — numerus integer esse non potest, unde patet aequationem nullo 



modo subsistere posse. Sicque impossibile erit, ut sit ab {a -t- b) =: x^ , neque ergo unquam esse poterit 

 a3_l_ft3__g3 Facile autem patet, hoc modo rem de altioribus potestatibus demonstrari posse. Verum haec 

 conclusio maxime est incerta, cum fieri posset tam s = l, quam s = 2. Ceterum theorema Fermatianum huc 

 redit, ut demonstretur nunquam fieri posse, ut haec formula i -t- h-x", vel etiam 1 — W unquam evadat qua- 

 dratum, simul ac exponens n binarium superaverit; hic autem x omnes numeros rationales tam fractos, quam 

 integros significare potest. Reducatur enim res ad numeros inlegros, ponendo x= — et formula evadet 



r2"rt:4p"9"=n, 

 cujus radix statuatur r^-i-^v', ita ut v primus ad r, erit 



; ' ' ;■ ! ' I •, 4o"a^ 4i>v 



r^^-Hip^o^^r^^-H^t^r^-^-i^v, unde erit r"= ^ ^^ , sive p^^q^^u^r^-i-v), 



qui duo factores sunt primi inter se, unde uterque debet esse potestas exponentis n. Capi ergo poterit i=p", 

 lum autem erit r^^-t- vz=^^, ideoque r^^-t-p":=^. 



Quare si haec formula 1 ±4.5?" fuerit impossibilis , etiam impossibile erit 



ut r^-i-p^^^q". . ,,.,,, „,,,„;,„ 



A. m. T. II. p. 161.." 



10. (J. A. Euler.) ■ 

 Lt fiat x^-k-y^=n, sumatur x-*-y=5aabb, x — y = — - — . 



Summae vel differentiae duorum cuborum, 

 quae sint quadrata: 



I. 2'-t-l«=3*., , ^ n. 8»-.7'=13% - III. 65'-t-563=671% IV. 7*»-W'=549». 



!'>fir>h «».'. yfliv! nf, .HS=: mq iMtijji Jr8 



H. {Lexell.) 

 V. 37»-*- 11'= 228*, VI. 71»— 23'=588^ 



Proposito problemate, quo quaeruntur duo cubi inter se primi, quorum summa x^-t-y^ sit quadratum, duo 

 casus sunt perpendendi, alter, quo ambo numeri a? et y sunt impares, aller vero, quo unus par, alter impar. 



L. Ealeri Op. posthoina. T. I. ol 



