242 L: eULERI OPERA POSTHUMA. AHthmettca. 



Pro casu priori erit x=a-+-b et y = a — b, numerorum a et b altero existente pari, altero impari, hinc autem fit 



x^-i~i/=2a^-+-Gabb = 2a{aa~+-Ub), 

 ubi iterum duo casus occurrunt: primo vel 2« el aa-t-^bb sunt primi inter se, quia aa-^-^bb est impar, ergo 

 uterque factor seorsim esse debet quadratum, unde patet a esse debere parem, b vero imparem; ponatur ergo 

 2a = icc, et quadratum insuper esse debel aa-t-366 = 4c*-i-366 = D, quod facile fit; vel 8ecundo2a ei aa-t-2bb 

 communem factorem habere possunt 3, quod fit si a sit divisibile per 3, existente a pari; sit ergo a=i^, fiet 

 12c(36cc-f-36&) = n, hinc h-c{i2cc-i-bb) = D . Sit ergo c = dd, fierique debef 12d*-Hfcfc=n, quod facile fit. — 

 Pro posteriori casu poni debet a; = — — — et y= — x— , ubi uterque a et b impar; tum igitur quadratum esse 

 debet - = d, sive a{aa-t~3bb) = a. Hic iterum vel a non est divisibile per 3, vel divisibile per 3; 



o 



illo casu sit a = cc, ideoquec* -4-366 = d, hoc vero casu sit a=3cc, unde 



3cc(9c*-f-3fc6) = D, sive 3c*h-66 = d. 

 ,i^=;s<| o^ia lOlenoq ,ig/^»Hi )» ?.^-iw ,% b& ^ffi A. m. T. I. p. 129. 



12. (N. Ftiss J.) 



Si esse ta^=b^-^c^, foret a® — Wc^={b^ — c^) . Hinc ergo si demonstrari posset nunquam esse a^ — W^=D, 

 theorema foret demonstratum. Quoniam' igiturhaec forma a^ — 4«?^ continetur in hac A^-^dB'^, etiam ejus radix 

 quadrata similem fonnam habeat necesse est, quae ergo sit pp — dqq. Ergo fit a^ = pp-i-pq^=:p{p~^q^). Hinc 

 prior factor p debet esse cubus =r^, et alter factor r^-+-q^ pariter cubus. Unde si foret ft^-i-c^^^cubo, 

 alius casus hinc deduceretur r^-f- q^= cubo. 



tri,: -:■,.,;!:<). iii 



n'.:yH}L 'JuL ilVi 



A. m. T. II. P.2H. 





Observatio circa theorema Fermatii, quo affirmat, hanc aequalitalem a"-*-6"=c" semper esse impos- 

 sibilem, simul. ac exponens n excedat binarium, cujus autem demonstralionem nemo adhuc invenlre |>otuit. 



Reduci potest ista forma ad fbrmulas, quae quadrata fieri debent. MuUipiicetur enim formula proposita 

 per h-a^' et utrinque addatur 6*", prodibit 

 t**^=' *'*«^«»<1 (^a^-f-fe^^^^ia^c^-Hfr^^^D^^fi. " >•!'}' 



Simili modo erit 46"c"h- a^'*= .4^, item c"^" — Wb^^^CC. Totum negotium ergo eo redit, num impossibilitas 

 harum formularum ostendi possit. Ceterum apparet sufficere , casus examinare , quibus n est numerus 

 primus; nam si a"-f- 6" zr: c", erit etiam a^" -+-b^'^'-n.c^^^, sicque n spectari poterit ut numerus impar; 

 tum autem formula a"-t-6" faclorem habet a-\-b. Debet ergo etiam esse a-^b = p'\ simiHque modo 

 c — a=iq" et c — b = r'\ Quod si ergo hae conditiones cum praecedentibus conjungantur, impossibilitas fortasse 

 facilius ostendi poterit. Non solum Jgitur oistendi oporlet hanc formulam 4a"c"-i-i»^" non esse posse quadralum 

 ita, ut simul a~t-b=p". 



Pro casu a = 1 et 6=1 fit illa formula 4c"-t-l=D, quod in integris nunquam evenire posse ita oslendo, 

 quod quidem manifestum est si n est par. Pro imparibus autem statim patet c non esse posse numerum 

 mparem. Sit igitur par =2d, erit formula 2""*"^^"^- 1, cujus ergo radix esse debet l-l-2""*^^«, 



2^'-H2rf«H_l = l_^.2''-^2s-+-2*»'^^ss, unde rf^^s-f-^^ss^s (2«s-i-l), 



qui factores cum sipt primi inter se, debebit esse 8 = t'^, alter vero factor erit '2^t'^-k-\ = {2t)"-\r-\, quod est 

 impossibile.'''^if^ ^'* -^^ ')tiM»noii*l 



iHqmi '(...ii; ifiq anmi owp oisv kmU ,9.mB^m Jmia ^H t. iianiii A. m. T.UI. p. 165.16$. 



