Fragmenta ex Adversartis depromfa. 243 



14. 



Theorema. Formula 1-i-2j;' nnllo casu fit quadratum, neque in integris, neque in fraclis, praeter 

 casum a; = 0. 



Demonstratio innititur huic fundamenlo, quod omnes cubi per 7 non divisibiles sint formae 7ndt1. 

 Hinc ergo omnes potestates sextae erunt formae In-t-i. Deinde omnia quadrata sunt vel 7n, vel 7n-t-l, vel 

 7n-i-2, vel 7nH-i, ita ut nuUi numeri formae 7n-f-3, 7n-H5, 7n-i-6 sint quadrati. Jam forma 1 -i- 2a;' in 

 integris quadratum csse non potest. Si enim x per 7 non sit divisibile, forma numeri 1-h2x' erit 7n-h-3 et 

 7n-i-6, quorum neuter quadratum esse potest. Sumto autem x = Ta, erit 1 -i-2.7^.a^=zz. Foret er^ 

 2.7^.a'=i;^— -1 = (^-f-l) (2— 1), ergo faclorum z-hI et z — t alter debet esse cubus, alter duplex cubus. 

 Sumamus 2— 1=7'. 6', ideoque z=i-h-l^.b^, unde 2a'=26'H-7^6^ unde patet esse debere a=bc, erit ergo 

 2c«=2h-7'.6». 



At si X est numerus fractus, ejus denominator debet esse quadratum. Ponatur ergo af= — , fieri debet 

 6'-f-2a'=D, ubi nisi b = 7n, semper erit 6"=7n-i-l et a'=7ndbl (si a non est 7n), ergo 



6^-1- 2a' = 7n -f- 1 rt 2 , 



hoc est vel 7n-f-3, vel 7n — 1, neutro casu quadralum. Sit a=lc erit b^-^2.1i^.c^=zz. Sit z = l^-\-2.1^dP, 

 hinc c^=2b^d^-¥-2,V.^ et sumto c = de erit e^=2b^-{-2.V.dP, ergo 6^—26' divisibile esset per 7, quod 

 fieri nequit. 



Verum rigida demonstratio postulat profundiores indagationes. 



Theorema I. Si fuerit 2a;'-i-l=a, dari poterunt diio cubi, quorum sununa vel differentia sit cubus 

 quadruplus. ~ ^> *= « "ml»*: 



Demonstratio. Loco X scribamus — fietque 2a;'H-i/' = ^5. Jam ponatur x = ab fierique debet 

 2«— y«=2an'. Fiat ergo z-^-y^ = 2a^ ei z — y^=b^, unde fit 2i/' = 2a'— 6', ergo 6'=2(a'— 1/'). Fiat 6=2<r, 

 erit 4c' = a'— y'. ==t^-H*i 



Theorema II. Si dentur duo cubi, quorum summa vel differentia aequetur cubo quadruplo, dari poterit 

 X, ut sit 2a;'-i-l=n. «'^•* »«« /•y»^ '* ^"' 



Demonstratio. Sit a'-i-ft'=ic', erit ia'-i-W6'-i-6^=16a'c'-i-6''=n. Jam sumatur x = — erit 



00 



n = 2ar'-i-l. 



Theorema ni. Non dantur duo cubi, quorum summa vel difTerentia sit cubus quadruplus. 



Demonstratio. Si enim fuerit ar'-t-i/' = 4z', evidens est ambos numeros ar et y esse debere impares, 

 unde statui poterit x = a-i-b et y = a— -6, ita ut numerorum a et 6 alter sit par alter impar, unde fiet 

 2a'-i-6a66 = 4-z', sive a(aa-i-3W)=2z', ubi aa-t-366 erit numerus impar, unde patet a esse debere parem et 

 b imparem. Hinc porro si ambo factores a et aa -h 366 fuerint primi inter se, debet esse a = 2p' et 

 oa-i- 366 = 5'. At vero si a sit 3c, ambo factores communem habebunt divisorem 3» eritque 



9c(3cc-f-66) = 2p'5', 



unde 9c debet esse duplus cubus veluti 2.27rf^ ita ut c = 2.3rf', ideoque a = 2.9d^. Tum vero 66-h3cc 

 debet esse cubus, unde casus duo sunt considerandi : prior, quo a=2p^ et aa-f-366=j'; alter, quo a=2.9p' 

 et aa-i-366=37', sive posito a = 3c debet Qsse 66-H3cc=r'. Quod autem uterque casus sit impossibilis, 

 demonstrari potest ope sequentis lemmatis. 



