m L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Arithmetica. 



Lemma. Si fuerit xx-\~^yy = mho, certutn est «jus radicem ejusdem fore formae, puta pp-t-^qq, ita ut 

 xx-^3yy = {pp-t-3qq)^. Erit ergo x-^yy—3 = {p-i-qV—3)^, a? — yV— 3 = (_p — gfV-^Sf, hoc est 



X -t- yV— 3 =p^— ^pqq -4- {3ppq — 3?^) V— 3 , 

 .trf-- oT 9B«nol:lflia.,asfi unde fit x = p^—dpqq et y = 3ppq—3q^. 



Demonstratio casus prioris. Cum igitur aa-i-3&6=cubo, per lemma erit a=:p^—dpqq et b=3ppq — 3q'^. 

 Quam ob rem debet esse a=p^ — ^pqq =^ 2 cuhis , unde hoi productum p(p — 3q){p-t~3q) cubo duplo aequari 

 debet, et cum numerorum p et ^f alter sit par, alter impar, erit p par, ideoque p=2cubis. At vero p-t-3q 

 et p — 39 = cubo. Ponatur ergo p~i-3q = r^ et p — 3q = s^, erit 2p =r'-4-s^=4i^, quod fieri non potest, quia 

 si darentur tales numeri a'-i-6'=4c', nunc darentur multo minores r^-Hs'=:4f^. 



Demonstratio alterius casus. Cum fieri debeat 6&-i-3cc=cubo, erit 6 = p' — 9pqq et c = 3ppq — 3q^. 

 Cum igitur a=3c, erit a = d{ppq — q^) = 2.ds^, sive q{pp — qq)=2s^, ubi q erit par, ideoque ponatur 



,„ p-i-q = t^ et p — q = u^, erit 2q = t^ — u^= h-u^. 



Unde si magni darentur numeri, etiam in minoribus dari deberent, ut fiat 2x^-i-\ =D, quod autem cum in: 

 minimis non fiat, etiam in maximis non succedet. 



A. m. T. III. p. t67— 169. 

 tioiip .'T •« 



15. 



Problema. Invenire duos cubos, quorum summa aequetur dato multiplo cujuspiam cubi, sive Ht sit 



SoLUTio. Ponatur n = a^y et fiat x = a-{-h el y = a — h; tum vero z = 2y^, erit a{aa-\-3bh) = k-a^yv^. 



Fiat aa-i-.3A6=:(p2)-f-35'5')' et vidimus fore a = p{pp — dqq) et h = 3q{pp — qq), esseque oportebit a=— ^r~Yz' 



Sumatur u =^ fgh {pp ^ 3qq) , ut prodeat a = k-a^yp g^ h^ . Cum igitur sit a=p {p-\-3q) \p — 3q), fiatp = «/"', 

 p~t-3q = 2(3g^ el p — 35^=2/^^. Hinc erit p = pg^-\~yh^ et 3q = ^g^ — yh^. Hinc ergo debet esse 



lij-Uoq hflb .oii .<^m 'ffrtnii|»ftr. AihMi*»' ' i J . i ■> 



quod si ergo hoc fieri potest, etiam aequatio proposita erit confecta. Ita sumtis f, g, A==t:l, solutio locum 



habebit si fuerit a = p±y. Sumto f=2, g = h=±\ solutio locum habet quoties fuerit ^a=^p±y. Tali 



autem casu, quo af^= ^g^-i-yh^, invento, erit p = af^ et q= „ — , unde porro deducitur a = p{pp — dqq) 



et b = 3q {pp — qq) , ex quibus denique x = a-t-h et y = a — b. Tandem autem erit z = 2u = 2fgh {pp-*-3qq). 



ExEMPLUM 1. Sit a = 3, /? = 2, / = 1, ideoque w=6, fiet 3f^=2g^-i-h^, quod fit si f=l, g=iy 



1 fi(\ 



h=i, tum autem erit p = 3 et q=-^, unde deducitur a = 24 et h=--. Erit ergo a: 6 = 27: 10. Sit ergo 

 a = 27 et ft=10 eritque ^=37, y=17, z=---. Cum jam sit x^-h~y^={x-\-y){xx — xy-h-yy), erit a;H-v=t=54' 

 et ob x — y = 20, ergo a-^r — 2j*y -i- j/j/ = 400 et xx — xy -h- yy = 102d , ergo a7^-t-i/^= 54. 1029 = 6.3^.7^ 

 ExEMPLUM 2. Sit a = 5, /?=3, y=\, ideoque w=15, ^ei p = ^f=3g^-\-h^, quod fit si A=2 et 



^ = — 1 et f=\; lum erit p = 5, 9= — --, unde a=5.96 et 6 = — ^ — . Sumatur a = 540, 6 = 143, 

 a; = 683 , 1/ = 397 fietque a^^-f-i/— 15^3 



Observatio MAXiMi MOMENTi. Arbitratus sum, si fuerit xx — nyy = {pp — nqq)^, etiam fore 

 X ~\- yVn = {p -^-qVn)^ et x —yyn = {p — qVn)^, 

 unde facta evolutione fiat x=p^~\-3npqq el y = 3ppq-\~nq^. At nunc se mihi casus obtulit maxime discrepans 



