Fragmenta ex Adversariis depromta. 245 



162— 3. 23*= (1—3. 2*^, unde deberet esse 1 6-1-23 VS =(1 -+-2 V3)', quod autem neutiquam contingit. Simi- 

 lique modo deberet esse 16 — 231^3 = (1 — 2V3)^. Interira tamen productum priorum 'nm, %iiirTf)nr o^»'fo boim 



, 162-3. 23*= (1-3. 2*)'= 37=^-3. 30^ ihDul 



Revera igitur hoc remedium afferri debet: Si fuerit xx — nyy = {j)p — nqqy, tum sumtis factoribus dabuntur 

 numeri f et g, ut sit aj-f-y Vn = (/"-H^Vn) (p-f-g Vn)' atque a; — yVn^^/"— ^Vn) (p — ^Vn)', ubi necesse est, 

 ut sit ff — n^^=l. Haec ergo applicemus ad casum observatum, ubi est a;=16, n = 3, y = 23, deinde 



147S t71 



p=l, qz=2, et facto calculo litterae f et g ila determinantur, ut sit f= — 1331 ^^ ^~~nTi' ""*^® revera 

 fit ff—3gg=i. Unde patet hujusmodi coefficientes nullo modo divinari posse. 



Sequens autem consideratio me ad hunc casum deduxit: Quaesivi numeros rr et y, ut {x-i-y){xx ~t~yy) 

 fiat cubus, et vidi esse debere a;-i-t/ = W et xx-^-rjy = 2B^. Posui ergo xx-¥-yy = 2{m-i-blj)^ et inveni 

 x = a{aa — 2bb) et y = b{3aa — bb). Hinc porro inveni hanc solntionem y = ^9 et a?=13, deinde ex hoc 

 casu elicui af = 7.37.61 et y= 9.13.229. — At vero valores litterarum f et g multo simplicius exhiberi pos- 

 sunt, uti ex sequente problemate patebit: 



Problema. Invenire numeros inter se primos x et y, ut sit xx — 3yy cubas. 



SoLUTio. Primo haec conditio est adjicienda, ut numeri a; et y sint primi inter se: si enim compositi 

 admittantur, solutio esset facillima sumendo 



x = a{aa— 3bb) et y = b{aa — 3bb) ; tum enim foret xx — 3yy = {aa— 3bb)^. 

 Ponatur igitur xx — 3yy = {pp — 3qq)^ et sumtis factoribus fiat 



a; -f- y V3 = (/• -H 5 V3) (p H- 9 V3)» 

 similique modo x — y V3 = {f — gV^) {p — qV'.^)^, 



sic enim fiet xx — 3yy=:{ff — ^gg) {pp — S^g)'. Necesse igitur est, ut sit ff — 3gg=:i, quod infinitis modis 

 fieri potest. Primo f=l et g = 0; secundo f = 2 et g=t; tertio /"=7 et g=h-; quarto /"=26 et g = \5. 



et in genere / -f- ^ V3 = -|^ (2 -i- V3)" -+- ~ (2 - V^)" 



f - ^ V3 = 1 (2 -I- V3)" - 1 (2 - V3)«. 



His notatis cum sit {p-t-qy3)^=p{pp~t-^qq)-t-3q{pp-t-qq)y3. Ponatur brevitatis gr. 



p{2yp-l-dqq)=P et q{pp-*-qq) = 0, ut fiat {p-i-qy3)^= P-\-3Qy3 et (p — 9^3)'=/»- 39V3. 

 Hinc ergo erit 



x^yy3=fP-\-{gP-t-3fQ)y3-t-dgQ, unde fit x = fP-\-^gQ et y = gP-\-3fQ; 



ubi notetur litteras f et g tam negative quam positive accipi posse. 



Sit nunc p = l et q = 2, erit jP=37 et ^=10, ergo x=31f-i-^g et y = 37^ -*- 30/"; quare snmto 

 f=l et g = 0, erit x=31 et y = 30. At sumlo f = 2 et g = i erit ar=164, t/ = 97. Sumto vero f=2 

 et g = — 1 erit a; = 16, y = 23, qui est ipse casus supra tam difficilis visus. Hoc ergo modo omnes casus 

 possibiles pro x et y erui poterunt, ut xx — 3yy fiat cubus, dummodo litteris f et g omnes valores tam po- 

 «itivi quam negativi successive tribuantur. Eodem modo problema generalius solvi potest, ut fiat xx — nyy 

 cubus, qui sit {pp — nqq)^ et sumto 



([—^99 = ^ erit a;-f-yVn = (/"-f-5Vn) (p-i-^rVn)', 

 ubi erit {p -t- qyn)^=p {pp -h 3nqq) [=P]-t-q {3pp -i- nqq)yn [= j^ Vn]. 



Hmc ergo erit ' * 



