U6 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmeuca, 



-imiMi x-t-yVn — fP-i-gPyn-i^fQyn-k-ngQ^ ideoque x = fP~\-ngQ et y = gP-i-fQ, 



quod ergo infinitis modis fleri potest, si ttiodo fuerit ff—ngg=zi, id quod semper praestari potest quoties n 

 fiierit numerus positivus. At si n fuerit numerus negativus, evidens est formulam ff-^-ngg, saltem pro f et ^ 

 integris, aliter unitati aequalem os&e non posse, nisi sit /"= 1 et ^^ = 0. 



p. 169. 171. 



68. 



Problema. Datis numeris m et n, itera a et 6,' invenire x ei y, ut fiat 



maa — nhb = nxx — myy , sive m [aa -i^yy^^zzn {bb -+- xx). 



SoLUTio. Ponatur x = mpa~t-qb et y = qa-i-npb, unde fiet 



maa — nbb = m [mnppaa — qqaa) -h n {qqbb — mnppbb) = maa {mnpp — qq) — nbb {mnpp — qq). 

 Oportet ergo sit mnpp — qq = \. Manifestum ergo est hoc problema solutionem non admittere, nisi numeri m 

 et n sint summae duorum quadratorum. Quoties autem fuerint tales, ope problematis Pelliani semper invenire 

 licet numeros p et q, ut fiat mnpp = qq-i-t^ sive mnpp — l^ a. 

 .'^{m^m) 



(J. A, Euler.) 



Excipiuntur tamen casus, quibus vel mn est ipse numerus quadratus, vel in duo quadrata inter se prima 

 resolvi nequit; cujusmodi sunt: 8, 18, 20, 32, 40, 45, etc. Sic si mn=: 13, erit jp = 5 et 5= 18; nam 

 13.5*= 18^-4-1, et si mn = 125, erit p = 61 et q = 6S2, nam l^S.Gl^^^G^^^-i- 1 etsi 125 = 100-4-25, 

 quae non sint prima inter se, sed notandum est esse 125 = 11^-1-2% quae utique sunt prima. 



A. m. T. I. p. 129. 



69. 



(i^. Fu$s /.) 

 Problema. Resolvere aequalitatem a6 (a -t- 6)*= c«? (c -!-<<)''. 



SoLUTio. Ponalur m (a -♦- 6) = n (c -i- rf) fierique debet nnab = mmcd. Porro sit , 



a = mmps, c=^nnqs, b = qrs, d = prs, 



3 3 



unde prior aequatio erit m';)-»-m5r.= n'flH-ni)r, unde fit r = *^ q — m p ^^ ^ fractiones evitentur, sumatur 



mq — np 

 s = mq — np eritque in numeris integris 



a = mmp {mq — np), b = q{n^q — m^jo), c = nnq{mq — np), d = p{n^q — m'p). 

 Hinc enim fit 



a~i^b = n [nnqq — mmpp) , c -1- rf= m {nnqq — mmpp) , 



quae solutio est generalis. Notetur autem, si litterae a, b, c, d sint quadrata, veluti a = A^, b = B^, c=iC^j 

 d = D^, tum aequalitatem propositam accipere hanc formam 



AB {AA ■+- BB) = CD {CC h- DD) , 



ad quam igitur solvendam illae quatuor formulae quadrata fieri debent. Pri)mo ergo quadratum erit 



