Fragmenta ex Adversarits depromtd. 

 Erit ergo 2r^t=: V(4pp - 3««) = 2p^-^, unde ^ = ^^'^^^ . 



251 



Sumatur ergo p = q = ff-t-Zgg et i = \.fg eritque 



- 2r-^s = 2r-\~Kfg=±2{ff-¥-^gg)-Kff, hincque vel r = ^gg-ff-2fg, y(i\ r=^{gg-ff)^2fg. 



Varii numeri formae xy{xx — yy), qui eosdem factores non quadratos involvunt» «ub littera F contentos, 

 in hac tabella exhibuntur-. 



^3f I'Hip'J^ 



CoNJECTURA. Posito xy {xx — yy^^A^^F, inter numeros F videntur omnes numeri primi, vel ipsi, vel 

 eorum dupla, vel ambo interdum occurrere, excepto scilicet binario, uti ex hac tabula colligere licet: 



:» Itlll^ittlia;^ Itt ;!&'OilrL; 



Problema. Invenire numeros p, g, x, y, ut sit pq{pp — qq) = nxy{xx — yy)n, pro quolibet numero dato n. 



SoLUTio tantum particularis tradi potest, et calculis satis molestis expeditis inveni sequentes valores 

 p = s*—20n88tt — Snnt* p-^q = 2{ss — ntt) {ss — intt) 



(jr = («« -H 2ntt) {88 -4- 8n«) p-.q= 6ntt (5ss -*- 4n//) 



a:=8*— 20n«s« — 8nn«* a? -i- 1/ = (5s« -+- 4ntt) («« — 4n«) 



y = 4 («« — ntt) {ss -+• 2ntt) x — y=3ss {ss -4- Sntt). 



Hic enim rejectis factoribus quadratis formula xy{xx — yy) omnes continet factores alterius pq{pp — qq), ac prae- 

 terea factorem n haec posterior continebit. Notandum hic est numerum n tam positive quam negative accipi 

 posse. Deinde etiara valores singularum harum litterarum semper positivi capi possimt, etiamsi prodeant negativi. 



