^ vA^mMnk Fragmenta ex Adversariis deprontta. 553 



Ut formnlae aa-v-mmbh et m^nnhb reddi possint quadrata, numero» m et n ex talibus formis «umi oportel, 

 (ubi quidem ratio inter m et n est deGnienda) 



P9(rr— 1), _pr («/</— 1), qr{pp'--%''' Viqq — rr), q{pp — rr), r{pp—qq) 

 P{qqrr—i), q{pi}rr—i), r{ppqq—\), ppqq^rr, pprr — qq, ^qrr—pp, 



ppqqrr—i, 



quae formulae omnes ita sunt comparatae, ut «i earum quadratis addatur idem quadratum h-ppqqrr, proveniant 



quadrata. - ifiJilfinp'»» asiib •■.biI HiavioiioM ^ jr!.j!i .>;i'J 



A. m. T. I. p. 122. 



Problema. Dato numero ^j invenire coiiditiones numeri N, ut ambde istae formulae xx-t-Ayy, xx-v-Nyy 

 fiimui fieri possint quadrata. 



SoLiTio. '^ondiS.tit At^pfV^ j^vo casu scilicet, quo babet factores, et priori formae satisfiet sumendo 

 x=zfipp — rqq et y = 2pq, tum enim erit xx -^ Ayy = {npp-^vqq)^. Simul vero etiam aitera formula evadet 

 quadratum, si fii^vii N^mri^iypqq^fri^fipp^vqq),, tunienira erit m\:i 



jpx -4- Nyy = {fipp — vqq)^ -h kmppqq {ftpp — vqq) -f- h-mmp* q* = {fipp — vqq -+- 2mppqq)^, 



erit ergo N = mmpj^qq -t- m {fipp — vqq), ubi m pro lubitu assumere licet. Quin etiam pro m fractiones assumere 

 licet, ita ut pro N nibilominus prodeant nuiueri mtegn, sumto enim m = wH , tum enim fiet 



N=(n-t ) {nppqq H- fipp) = {npp ■+• v) {nqq -+■ fi) . 



A, m. T. I. p. 128 . 



72. • 



(N. Fuss 1.) 

 Problema DioPHANTEUtt. Rivenire numerum x ut his duabus conditionibus satisfiat 



, xic -^-' 2ax -H mmc == D et xx-t- 2bx -t- nnc = n , 



cujus solutio particularis est 



(nna — mmb)^ — mmnn (m — n)^c 

 %nn{fn — n) {na — «t6) 



Ita si proponantur bae duae formulae: xx -i- 2ax -i- c =: d et xx -t- 2bx -h- c = d , sumatur m=l et n= — 1 



eritque x = 



(a — by — 4c 



4(aH-6) 



A. m. T. II. p. 154. 



73. 



Problema. Resolvere has duas aeqnalitatest 



[2-^ 2dJ aric -4- (2 — 2a)xjy = ^AA et (2 -t- 2b) xx-^{2— 26) yy = \BB. 

 Solutio. itinc ergo primb evit \A^-^h-B''-={k-^2{a-^h))xx-v-{K-—2{a-\~b))yy; posito ergo 

 a-f-6 = 2c, erit A^-v- B^={i-\-c)xx-^{\.—c)yy. 

 Deinde vero eril 4^=^— i^*=2(a— 6) (a-a; — yy), unde posito a^b = 2d, erit ^^— J?'=rf(a-a?— ^).'" Stafuatur 

 ergo A-\-B =^ ar-Hy eritque A-^B = d{x — y). Addantur quadrata eritque 



24*-4-2J?2= (^^y)2-i-</rf(ar — 1/)2= 2 (1 -f-e) i»aj H-2 (1 — c) yy, 

 quae evoluta fit {\-i-dd)xx-^^ — dd)2xy-^{i-^dd)yy = 2{i-A-c)stx-^2{i^c)yy, sive 



{dd—2c—i)xx-^2{\--'dd)xy-¥'{dd-¥-2c'-i)yy = Q, 

 sive {dd—\){xx — 2xy-^yy)—-2c{xx — yy) = Q.t 



