256 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ArithrMtka. 



Quia numeri x Qi y debent esse positivi, necesse est, j^t.sit aa>>3fe6, sive a]>fcV3, ergo 6-Hcc;>6y3, sive 

 «.>6(y3--l), ideo^iue -^^-^TjT^^^-^r^- Ponatur igitur •mn^n^i 



b=2g{g-f) et cc = 3ff-2gg, ergo 3ff-2gg = D: 



Huic satisfit sumendo f=il et ^=1, vel etiam sumto f=—3 et ^ = 1, unde fit c=5, 6 = 8, o = 33, 



hinc a; = 29601 et y = 25624-. 



ri -^^ fj -+- ^«( ~ » 'fDJemiia ,nitiJBib£ir|i! 



Si quaerantur tres numeri x, y, z, positivi et primi inter se, quorum summa sit quadratum, quadratorum 

 vero summa cubus, tales numeri suht 



j5^9-f-5 — 72 et 352 -H 9^-1- 52= US 

 Simili modo etiam 67H-9-t-5 = 9^ et 67*-h92-i- 5=^= tO^ i.m-Hp! 



at vero methodus tales numeros inveniendi adhuc latet. ^ .. 



A. m. T. III. p. 128. 



77. 

 ^'"'"'^■'j^QPLj.j^,'^ Hag (juas formulas ccx-¥-abijij et xx-+-cdyy ad quadratum reducere. 



SoLUTio. Pro priore ponatur x = t [app — bqg) , erit y=2^pq; pro altera ponatur x '= rj {crr — dss) , 

 eritque y = 2r/rs. Ponatur igitur ^pq = r,rs = ^rifghk , fiatque p = j]fg, ent q = hk et r = ^fh et s = gk. Qui 

 valores pro x substituti praebent 



?^= i- .M^+:^. Quadratum ergo esse debet CtJ {^ncff-i-bkk) {^riaff-k-dkk), 

 hh I, ^Tjaff-i-dkk ..Sy.^v. 



/<* 



vel posito ^rj^d-, quadratum esse debet & {^&cff -^ bkk) {&aff -t- dkk) , vel loco i^ scribamus — , fieri debet 

 fiv{iicff-h-vbkk){fiaff'+-vdkk), quod si reddi queat quadratum , tunc etiam ambae formulae propositae fiunt 

 quadrata. Ubi scilicet litterae f, k, fi, v pro lubitu accipi possunt. 



ijjjsi MJK i^i .f>^i~»:-t^w \ fnifJBlbfiJffiA» nu T. UI. p. 136. 



Ut hae duae formulae xx-i-nyy et yy-i-nxx simtir quadrata reddi queant, necesse est, ut numerus n in 



sequenti formuta contineaturjitboii Kji «Ii:>«i feiiiup (laituiMptiiitji oiijidie iyii*KM % ("^ ,* <^ t>fii»JJii 'itiuJBUp lu 



,, {$-^xa; — yy) {i — xx-^-yy) {s -*- nex -*- yy) {s-^xx — yy) .c/i!i«i'. 



;)£ f ..'?f 'T .m T .m .'/ ^ — Assxxyy 



Quodsi fuerit w=aa-t-3, tum ambae formulae quadrata reddi possunt; tum enim sumto x=a-\-\ et y=a—\ 



fiet nxx-\-yy = {aa-\-a-\-2)^ et nyy~¥-xx = {aa — a-\r-2)'^. Hinc solus casus a=\ excipitur; tum enim ob 



»ti=l' fdrel y=0. Praeterea vero innumeri alii dantur casus pro n, pro quibus inveniendis quaeratur numerus 



c = - ^.- ^ lum enim semper erit n = cc — dd-\-\. ..- ; 



ifi xy 



,-<;?.y: ■'■■■.■■■• ■^ ■ '■ ■• , - 



Theorema, Hae duae formulae xx-\-nyy et yy-\-nxx simul quadrata reddi nequeunt, nisi n-i-1 sit 



summa duorum quadratorum. 



. .,: P^M.ONSTRATIO. Vp^ito xx-\-mjy=pp et yy -\- nxx =;;=: qq erit pp -\- q^={n-\-.\){xx,-\-yy), .Constat 

 autem summam duorum quadratorum j>p-\-qg alios divisores non contjner^ posse, nisi qui ipsi sint summae 

 duorum quadratorum. Quoties ergo n-+-1 non fuerit summa duorum quadratorura, quod fit his numeris pro 

 « a««umtis : «y»g -^ ""x\6 - «i^ 



