Fragmenta ex Adversariis depromla. 



257 



2, 5, 6, 8, 10, 11, 13, U, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26, etc. 

 ambae formulae simul quadrata fieri nequeunt. 



Cum his formulis 7xx-i-yy=pp et 7yy -i-xx = qq satisfiat sumendo x = 3 et y=l, unde fit p = 8 et 

 ^==4, innumerabiles alii dabuntur valorcs pro x et y, ex quibus magno labore hos eruimus: x = ii2i et 

 ^=4-77, unde fil p = 3U04 et 9 = 1688, uti ex hoc schemate apparet: 



a?a;= 3256641 7arir = 8796487 



7yy = 15927^3 yy= 227529 



ii>w«li8 /,/1 = 2S4.934i «« = 9024011; fi>* •noinq i3 



99 = 2849344 

 9=1688 



jjj, = 9024016 

 p = 3004. 



1.01. T. III. p. 14e. 



77. 

 Problema. Invenire quatoor quadrata xx, yy, zz, vv, ut sit 



xxyy — zzvv = A^, xxzz — yyv^ = B~, yyzz — xxvv = C^. 



SoLUTio. Quaeratur formula F, quae addita producat quadrata. Talis est 



F= x*-^y*-^z* — 2xxyy — 2xxzz — 2yyzz -*- ^xxvv -h ^yyvv -+- ^zzvv -t- v* 



cui si addatur h-xxyy — h-zzvy prodit quadratum [xx-t-yy — zz-t-w)^. 



Si addatur h-xxzz — h-yyw oritur {xx -\~zz — yy -^v^Y 



et addito h-yyzz — kxxs^v prodit [yy -\- zz — xx-\-vvf. 



Hinc ergo facto F=0, erit 



A= 



xx-^yy — zz-t-vv 



B 



xx-t- zz — yy-t- vv 



C = 



yy 



■ zz — xx-t-vv 



l'V 



»Ki «r r^nnfl 



2 



2 ' 2 



Fiat igitur F= 0, et per extractionem quaeratur w, eritque nhiuh \-^ fina «.h >,aot(,iuA 



vv= — XX — yy — zz-t- ^V^xxyy -t- xxzz -*- yyzz). 

 Ponatur ergo V^xxyy -\- xxzz -t- yyzz) = S , ut fiat vv = 2S — xx — yy — zz. Fingatur autem 5==a?y-»-/z, ita 

 ut 55 = xxyy -4- 2xytz -h- Uzz = xxyy -4- xxzz -+- yyzz, unde fil ^g_ ^ js _!* . c. jio8 



'itxy 



hincque S = 



xy {xx -t-yy-t-tt) 



xx-t-yy — tt' * xx-t-yy — tt 



Verum hi valores substituti pro vv dant expressionem inextricabilem. Fieret enim sex dimensionum. Necesse 

 ergo est, ut rem ad formulas simpliciores reducamus. 



CASts I. Sumatur l = x — y fietque z = x — y et S — xx — a7t/-*-yy, hincque porro w = Q. qui ergo 

 casus prorsus est inutilis. 



Casus II. Sumatur / = y fietque z=-^ et 5 = ^^~*" ■ 



Alius conatus. Ex aequatione F=0 quaeralur valor ipsius xx, qui e«t ,.f, ^f^nUxtAtii^ In 



xx = yy-^ zz—vv ± ^V^yyzz — i/yt^P' — zzvv) = 2S-\-yy-t-zz — vv. 



Quia hic yy multiplicatur per zz — vv, pro z et v tales valores sumantur, ut zz-^vv fiat quadralum, quod fit 



005. « 225 tt 



sumendo z = 5 et v=2; tum erit S=V(16j/v — 225) = 4y — /, unde y = --g^— et S = —^. Tum igiftir 



erit a;a; = yy-4-16±25. Sumatur ( = 5, erit y = ^ et S = 20, ergo a;a; = -^g -1- 16 zt 40 = ^, ergo 



L. Euleri Op. pottbama. T. I. 



33 



