260 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Artthmettca. 



ila tamen, ut p eiindem valorem retineat. At vero hoc modo quaelibet solutio particularis satis difficilem 

 postulat evolutionem; unde praecedens solutio longissime praecellit, cum sumtis numeris c et d pro lubitu, 

 valores jam evolutos pro litteris p, q, r suppeditet. Hic etiam notasse juvabit infinitis modis fieri posse 



aa — 2bb == 2cc — dd. 

 dum enim fieri debeat aa -+- dd = 2 {bb -+- cc) , hoc fiet sumendo a = b-t-€ et dz=b — c. Erit ergo 



c = a — b et d = 2b — a. 

 J.. tl 'i<ii«el A. m. T. III. p. 178. 179. 



sw ui .m ,T .*» <A 81. 



(Lexell.) 



Problema de inveniendis quotcunque numeris p, q, r, s, t, etc. , quorum quilibet duclus in .snmmam 

 rehquorum faciat quadratum, facile tentando sine analysi resolvi potest. Sit enim 5 summa omnium, et cum 

 p {S - p) debeat esse quadratum, ideoque pS = pp~t^D, evidens est tam p quam S esse debere summam duo- 

 rum quadratorum , ideoque pro S sumi conveniet talem numerum, qui pluribus modis in bina quadrata se 

 resolvi patiatur, cujusmodi est 5=130, qui in binas partes secari debet, quarum produclum sit quadratum, 

 quandoquidcm si una pars sit p, altera erit S — p, tales resolutiones hoc modo exhibemus: 



2, 5, i3, 26, 32, 40, 49, 65 

 128, 125, H7, 104, 98, 90, 81, 65 



ubi notandum, valores ipsius p ex utraque cohimna sumi posse, ex his igitur excerpi oportebit vel temos nu- 

 meros, vel quaternos, vel quinos, vel senes etc, quorum summa faciat 130, ut sequitur: ternio 32, 49, 49. 

 Sicque quinque habemus numeros 2, 5, 26, 32, 65, quorum quilibet in summam reliquorum ductus, producit 

 quadratum. Alii quini: 2, 13, 26, 40, 49. Alii numeri idouei pro S assumendi, qui plurimas resolutiones 

 adn^ittunt, sunt 2210 



1, 5, 13 . . . 



• p 2209, 2205, 2197 . . . 



A. m. T. I. p. 1 12. 



P 

 S = 130, ^ 



S — p 



S = 2210, ^ 



82. 



CONSIDERATIO CIRCA QUADRATA MAGICA. 



I. Ouadrata magica facile eo reduci possunt, ut summae per columnas tam horizonlales quam verticales 

 evanescant, quod fit admittendo etiam numeros negativos; scilicet si quadratum fuerit impar, numeri inscribendi 

 erunt 0, rfc 1, ±2, nt3, rt4, etc, sin autem quadratum fuerit par, numeri inscribendi erunt ±1, ±3, ±5, 

 ±7, etc. Quodsi enim ad singulos addatur numerus quidam impar, et summae per 2 dividantur, orientur numeri 

 naturales; ita si ad singulos illos numeros addatur 9, semisses dabunt hos numeros ordine 4, 5, 3, 6, 2, 7, 8, 1. 



II. In omni quadrato magico quaterna loca connexa voco, quando duo pro lubitu in columna quadam ho- 

 rizontali accipiuntur, quorum illud primum, alterum secundum voco, duo reliqua vero in alia columna horizon- 

 tali ita accipiunlur, ut primum et tertium, itemque secundum et quartum in ea columna verticah existant, sive 

 ut lineae 1 ... 2 et 3 .... 4 sint horizontales, reclae vero 1 .... 3 et 2 .... 4 verticales. Jam sumtis hujusmodi 

 quatemis locis, si primo inscribatur numerus quicunque -+- a, secundo — a, tertio — a et quarto -+-a, hoc 



