264 . L. EULERLOPERA POSTHUMA. Arithmetica, 



85. 



{N. Fuss /.) 

 Theoremata circa problema Pellianum. 

 I. Si fuerit nff—i=gg, erit n {2fgf-{~ 1 = [2gg -f- 1)^ 



Demonstratio. Cum enim «it nff=gg~h-i, multiplicando per h^gg fiet 



^nffgg = h-g*~t~i-gg 

 et addendo unitatem ^i^ff99 -H 1 = %*-*- ^gg -H 1 = {2gg -+- i)*. 



.j^jgj II. Si fuerit nff^ ^ = 99^ erit nffgg -+- 4 = (^^ h- 2)^ 



^^nii Pemonstratio. Gum enim sit nff=gg-t-h- et per gg multiplicando et 4 addendo prodit 



nffgg-i~^ = g*-i-^gg-^^ = {gg'-i-2)'^. Q.E.D. 



III. Si fuerit nff-^ \ = gg, erit nffi^^y-^- i = {~^^' 



/qq 1 \ * 



Demonstratio. Cum sit nff=gg — 4, multiplicando per l — —j et addendo 1 fiel 



Hinc si n = 13, quia 13. l'' — 4 = 9= S'^ in theoremate secundo habemus /"=1 et ^^=3, unde seqnitur 

 13.3^-1-4=11^. Niinc pro tertio theoremale habemus /"=3 et 9-= 11, hinc ^^- = 60 et ?^^=59; 



hinc ^-^ = 649, ex quo sequitur fore: 13.3^60^-1- 1 =649^= 13.180^-1-1. 



a ■ <. 



A. m. T. I. p. 281. 



86. 



Theorema. Si habeantur duo casus hujusmodi qq—app = k et ss — arr=dt:k et capiatur x = qr±ps 

 et y=:qs±zapr, erit yy — axx=:±kk. At si k sit numerus primus, semper evenit, ut alterutri horum valorum, 

 sciticet x=qr-i-ps et y=iqs-t-apr fiant per k divisibiles, sicque habebitur 



yy "^^ — -j- j 

 fi^nurf mh't&w R^bmilo^ idSi^ii mh' !)jiii>«»iyii A. m. T. I. p. 289. 



li/t IdeS 9i^iil:y»siU eib «ain drfaiR 



>iiii nBm <»ir>!iqilluiti <)«9ib :f — «« att^ sib 'i^l Jdaik. uX^linwth olHVM^ty^nid-iOf uii) ibufi 1. 



Theorema I. Si X fuerit nnmerus Irigonalis, tum etiam 9a; -1- 1 erit numerus trigonalis. 



Sit enim x = ^~^" erit 9a; -1- 1 = "" "^ ° "*" . Egj yero 9aa-*-9a-*-2 = (3aH- 1) (3a-f-2), ideoque 

 9a?-Hl erit numerus trigonalis, cujus radix est 3a-i-l. 



CoROLLARiuM 1. Si crgo X fuerit summa duorum trigonalium, tum etiain 9a:-i-2 erit summa duorum 



,. ^., . aa-^-a bb-*-b .. „ „ 9aa-^-9a-t-2 96frH-96-+-2 

 tngonalium. sit enim x = — 1 — - , ent 9aj -h 2 = » 1 ^. 



2 2 2 2 



CoROLLARiuM 2. I^imili modo si x fuerit summa trium trigonalium, tum etiam erit ^ar-4-3 summa Irium 

 trigonalium. Si enim sit x = A-t- 4'h- i", tum erit 9a? -l- 3 = 9i -f- 1 -i- 94'-*- 1 -i- 94"-i- 1 . 



Theorema U. Si X fuerit numerus trigonalis, tum etiara 25a?H-3 erit numerus trigonalis. 



Sit enim x = ^-J^" , erit 25« -i- 3 = ^5°° -*-^5q -4- 6 ^^^ ^^^^ ^Saa -h 25a -^-6 = (5a-4-2) (5a-f-3) , unde 



