XI. 

 Sur les log^aritluucs dcs nombrcis n6gatifs ct iiuagiJiaircs. 



(Conf. commentalionem de eodem argumento in Actor. Acad. Berolinensis tomo V. A. 1749 pag. 139.) 



§ 1. Dans le commerce litteraire de MM. Leibnitz et Jean Bernoalli, on trouve une 

 grande conlroverse sur les log-arithmes des nombres ncgatifs et imaginaires, controyerse qui a ete 

 traitee, de part et d'autre, avec beaucoup de force; sans pourtant que ces deux grands hommes 

 fussent tombes daccord sur cette matiere, quoiqu'on remarque d'ailleurs entr'eux une tres parfaite 

 harmonie sur tous les autres points de Tanalyse. Cette dissension parait d'autant plus remarquable 

 qu'elle roule sur un article de cette partie des Mathematiques qu'on nomme pures, et qu'on ne 

 croit ordinairement susceptibie d'aucune contestation, tout y etant fonde sur les plus rigoureuses demon- 

 strations. Car on sait, que les autres questions, sur lesquelles les mathematiciens ne sont pas d'accord, 

 appartiennent a la partie appliquee des Mathematiques, oii les diverses manieres d'envisager les objets 

 et de les ramener a des idees mathematiques peuvent donner lieu a des controverses reelles; et on 

 se vante meme souvent qu'elles sont tout a fait bannies de lanalyse ou des mathematiques pures. 



§ 2. En effet, la gloire d'infaillibilite que cette science s'est acquise, souffrirait une grande 

 atteinte, s'il y avait des questions sur lesquelles les sentiments seraient non seulement partages, 

 mais ou il serait meme impossible de decouvrir la verite par une demonstration evidente qui puisse 

 mettre fln a toutes les disputes. Comme il n'y a aucun doute qu'un tel accommodement entre les 

 divers sentiments de MM. Leibnitz et BernouIIi n'ait lieu, je vais examiner Tun et Tautre, en 

 pesant les arguments que chacun allegue tant pour la conOrmation de son scntiment que pour la 

 r^futation du contraire, et jespere bien developper cette mati6re et la mettre dans tout son jour, de 

 sorte qu'il n'y reste plus aucun doute, et que Tune et lautre partie sera obligee de reconnaitre la 

 solidite de la decision que je donnerai , et qui mettra fin a toutes les disputes qui pourraient encore 

 naitre sur cette mati^re. 



§3. M. Leibnitz donna le premier occasion a cette controverse avec M. Bernoulli, 

 quand il avanca dans la CXC epitre que la raison de 1 a — 1 , ou de — 1 a h- 1 ^tait imaginaire, 

 puisque le logarithme, ou la mesure de cette raison etait imaginaire, ou il supposait 6videmment que 

 les logarithmes des nombres n^gatifs sont imaginaires ou impossibles. La-dessus, M. Bernoulli 

 declara, dans la CXCIII epitre, qu'il n'^tait poiut du meme avis, et qu'il croyait meme que les loga-r 

 rithmes des nombres negatifs 6taient non seulemeut r6els, mais aussi egaux aux logarithmes des 



