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Analysis. 



memes nombres pris affirmativement. II soutient donc que l {-^x) = l(^ — aj), ce quil veut prouver 

 par lYgalite de leurs difFerenticlles, vu que 



dlx = — et de meme dl ( — x) = — — = — 



Contre cet argument M. Leibuitz replique, que la r^gle commune de differentier ler logarithmes, 

 en divisant la differentielle du nombre par le nombre meme, n'avait lieu que pour les nombres 

 affirmatifs, et que, par consequent, cette differentiation dlx = — n'etait juste, que lorsque x mar- 

 quait une quantit^ affirmative. Mais j*avoue que cette reponse, si elle etait juste, ebranlerait le fon- 

 dement de toute Tanalyse qui consiste principalement dans la generalite des r6gles et des operations 

 qui sont jugees vraies, de quelque nature qu'on suppose etre les quantitds auxquelles on les applique. 

 § 4-. Mais quoique la regle de differentier les logarithmes soit generalement vraie, de sorte 

 que dlx = — ^ soit que x fut une quantite affirmative ou negative, Targument de M. Bernoulli 

 ne prouve pas ce qu'il veut prouver. Je dis que de ce que les differentielles des quantit^s Ix et 

 /( — x) sont egales, il nc s'ensuit nuUement que les quantites memes soient egales entr'elles; puis- 

 qu'on sait que deux quantites qui different d'une constante ont la mSme differentielle. Ainsi les 

 differentielles de £C-i- 1 et de x — 1 sont l'une et Tautre =dx, sans qu'on en puisse conclure une 

 ^galite entre les quantites cc -»- 1 et x — 1. Outre cela, M. Bernoulli aurait prouve par le meme 

 raisonnement que I2x = lx puisque 



dl2x = -^ = — = dlx, 



et en gencral, il sen suivrait que lnx = lx, n marquant un nombre quelconque. €'est pourquoi de 

 regalite entre les differenticlles des Ix et /( — x) on ne peut rien conclure, sinon que ces deux 

 logarithmes different entre eux d'une quantite constante. Et en.effet, l( — x) k cause de — a;=a5.—- 1, 

 n'est autre chose que lx-*-{l — 1). II est vrai que M. BernouIIi pretend que l{ — l) = n=0, auquel 

 cas il serait sans doute l{ — x) = l(-^x), mais c'est justement ce que M. Leibnitz avait nie et que 

 M. BernouIIi voulait prouver par cet argument; de sorte que, de ce cote-ci, rien n'est encore d6cide. 

 ^ 5. Dans le meme passage que je viens d'examiner, M. Bernoulli se sert encore d'un autre 

 argument, mais qui ne differe du preccdent que dans la maniere de le proposer; quand i\ soutient 

 que la courbe logarithmique a, des deux cotes de son asymptote, deux parties egales et semblables; 

 de sorte qu'a chaque abscisse ou logarithme repondent deux ordonn^es ou nombres egaux, Tun affir- 

 matif, lautre ncgatif. Gar, consid^rant Tequation de cette courbe ydx = adyj ou x marque 

 labscisse prise sur l'asymptote de la logarithmique, j rordonnee et a la sous-tangente constante, il 

 en parait suivre, que si a la meme abscisse x repond la valeur y=u, il y r^pondra aussi y= — «; 

 puisque, si -^udx = -t-adu, il y aura aussi — udx = — ajdu. Mais ce raisonnement est semblable 

 au precedent, et il en suivrait de meme qu'a Tabscisse =x, repondrait aussi Tordonnee y=2u, et 

 generalement y = nu, de sorte que cette courbe aurait non seulement deux ordonn^es y = a , et 

 y = — u qui rcpondraient a Tabscisse =x, mais le nombre des ordonnees serait infini; consequence 

 qu'on est pourtant bien eloigne d'admettre. D'oii lon voit que cet argument ne prouve pas que la 

 logarithmique ait deux branclies pareilles des deux cotes de son asymptote. 



