Sur les logarithmes des nombres nigatifs et imaginatres . 271 



§ 6. Mais on mobjectera peut-etre que c'est pourt.int lc plus siir moyen que de juger de la 

 figure d'une Ilg-ne courbe et du nombre de ses branches par son equation, et que c'est par ce prin- 

 cipe que les G^om^tres determinent les formes de toutes les courbes alg:cbriqnes. A quoi je r^ponds 

 que cette m^thode n'a lieu que lorsque lequation pour la courbe cst algebrique, ou du moins concue 

 en tormes finis, et que jamais une equation dilFerentielle n'est propre a ce dessein. Car on sait 

 quune equation differentielle est toujours indetcrminee, a cause d*une quantite constante arbitraire 

 qu'elle renferme et qu'on doit introduire dans rintegration: de sorte qu'une telle cquation embrasse 

 toujours une infinite de courbes a la fois. On n'a qu'a regarder Tequation difrerentieile pour la 

 parabole 2ydy = adx, et Ton verra qu'elle contient non seulement cette equation finie y^=ax, mais 

 aussi celle-ci y^ = ax±ab, quelque valeur quon donne a la quantite 6. Par consequent, en ne 

 consideraut que Tequation differentielle 2ydy = adx, on devrait conclure qua la meme abscisse =x 

 repond non seulement rordonnee y=yaxy mais encore y = y{axzt:a^), et en general y=y{ax±ab). 

 Cette reflexion est suffisante pour faire voir, qu'on ne peut guere juger de la forme d'une ligne 

 courbe, en ne regardant que son equation differentielle. 



§ 7. Or M. BernouIIi aussi bien, que plusieurs mathematiciens qui soutiennent encore le meme 

 sentiment, tache de prouver encore par d'autres arguments que Tasymptote de la logarithmique est 

 en meme temps son diam^tre. Ces arguments sont fondes ou sur la construction de cette courbe, 

 ou sur ranalogie. On se sert de Tanalogie, en considerant, au lieu de requation pour la logarith- 

 mique dx=—> celle-ci qui est plus grande dx = ^ et dont Tintegrale est x = C — _ _^ ; 

 on y remarque que toutes les fois que n est un nombre impair, la courbe a sans contredit un dia- 

 metre, ou deux branches egales et semblables. Cela remarque, dit-on, qu'on suppose n=i, et 

 puisque 1 est un nombre impair, la logarithmique doit avoir la meme propriete. Cest, a mon avis, 

 le plus fort argument qu'on ait apporte jusqu'ici pour prouver que la logarithmique a un diametre; 

 or, je ferai voir neanmoins que cette conclusion qu'on en veut tirer, n*est pas assez sure. 



§ 8. Quand il s'agit, dans Tanalyse, des cas d'integrabilite , ou dans la geometrie, de certaines 

 proprietes des lignes courbes, on trouve rarement des propositions assez generales, et il y faut 

 presque toujours excepter unou plusieurs cas, auxquels on ne peut pas faire rapplication. On peut 

 bien dire que cette formole x^dx est generalement integrable, quelque nombre qu'on mette pour /i, 

 pourvu qu'on en excepte le cas n = — 1. Et il en est de meme de plusieurs autres formules gene- 

 rales dont on ne peut presque jamais affirmer, qu'elles soient integrables dans tous les cas sans ex- 

 ception. Ainsi, quand on dirait que Tequation dx='^ repr^sente toujours une courbe algebrique, quel- 

 que nombre rationnel qu'on mette pour /i, cette proposition ne souffrirait qu'une seule exception, 

 celle du cas n = i. Donc, puisque ce cas est si particulierement distingue de tous les autres, qui 

 sera garant qu'il ne faut pas aussi faire une exception a la r^gle mentionnee a Tegard dun diam^tre 

 qu'on voudrait attribuer a la courbe comprise sous Tequation dx= —? Car, dans tous les autres cas 

 ou n est egal ci un nombre impair, nous reconnaissons avec evidence la necessite d'un diametre, puis- 

 que dans ces cas, Tequation est int^g;rable: mais dans le cas n = i cette evidence cesse enti^rement, a 

 cause de rimpossibilit^ de rintegration. Par consequent, on est au moins oblige davouer que la con- 

 clusion qu'on veut tirer de cet argument nest pas assez sure. 



