272 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



§ 9. On doutera pcut-etre que le jug-ement de la propriete d'un diam^tre soit assujetti a de 

 semblablcs exceptions qu'on doit reconnaitre dans les integ-rations: mais je feral voir tres clairement 

 que, meme dans les courbes algebriques, il faut souvent admettre quelque exception par rapport a ia 

 propriete des diametres. Qu'on considere par exemple cette equation generale 



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- ' y = yax -+- y{a^ {b -i-x)), 



et on n'hesitcra pas de conclure que cette courbe a toujours un diam6tre, puisqu'(en la reduisant 

 a la rationalite, on parvient a une equatioii du 8* dcgre ou tous les exposants des puissances de y 

 sont pairs. Cepcndant, quelque sure que paraisse cette conclusion, on en doit cxcepter ie cas ou 



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6 = 0. Car alors, si Ton delivre requation y = yax-*-va^x de i'irrationaIite, on aura precis^ment 



y^ — 2j Yax -i- ax = Ya^x ou y^-i-ax = (2y -h a) Yax 

 et partant, prcnant encore les carres 



y^ -*- 2axy^ -i- a^ x^ = kaxy^ -*- ka^ xy -t- a^ X ou j* — 2axy^ — ka^ xy -t^- a^ x^ — a^x = 0, 



qui, a cause du terme ka^xy, est destituee de diametre. Donc, puisque dans les courbes algcbriques 

 on est oblige de reconnaitre quelqucfois des exccptions, commcnt pcut-on etre assure que le cas en 

 question n'cn exige pas aussi? Et partant, il s*cn faut de beaucoup pour que rargument apporte 

 prouve invinciblcment que la logarithmique ait un diametre. 



§ 10. La meme inccrtitude se trouve dans les autrcs arguments qu'on tire de la construction 

 de la courbe logarithmique par la quadrature de rhyperbole. Car quand meme on tournerait cette 

 construclion en sorte, qu'il en resultcrait necessaircment deux branches de la log-arithmiquc, on aurait 

 encore des raisons asscz fbrtes pour douter que ccs deux branchcs apparticncnt neccssairemcnt ensemble 

 et qu'elles ne constitucnt qu'une seule ligne continue. Pour le prouver, je pourrais rapporter plusieurs 

 exemples de construclions par lesquellcs on obticnt deux lignes courbcs differentes qui ne sont pas 

 liees ensemble par le lien dc la continuite. Car, comme on peut toujours comprendre deux lignes 

 courbes, quelque difTcrcntes quellcs soient, sous une equation, en multipliant leurs equations enscmblc, 

 on n'a qu'a imaginer une telle construction qui convicnne a cettc equation composee, et elle fournira 

 les deux courbes proposecs, comme si cllcs ne formaicnt qu'une seule ligne courbc. Ou bien, ayant 

 decrit sur le meme axe Ics dcux paraboles v^=ax et u^=a^x,- qu'on en construise une nouvelle 

 courbe dont rordonnee y, qui repond a la meme abscisse x, soit egalc a la somme des ordonnecs 

 CH-tt des deux parabolcs proposees; or chacunc, de ccs ordonnees pouvant etre prise tant affirma- 

 tivement qtie negativement, on trouvcra pour chaque abscissc x quatre ordonnecs c-t-w, — v — u, 

 V — u, — v~\-u, et la courbe conslruite aura un diamctre. Neanmoins Tequation 



y = v -^ u = Yax -H Ya^^ 

 nous fait voir que la courbe n'a pas de diametre, comme je viens de remarquer dans Tarticle precedent. 



§ 11. De plus, comme il y a des constructions, desquelles on tire deux courbes diffcrentes, 

 il y a aussi des constructions defectueuses qui ne donnent qu'une partie d'une lig^ne courbe. Car soit 

 d6crit un cercle dont le diam^tre =a, sur lequel prenant rabseisse =x, lordonnee y sera 

 = Y(<ix — a;^); qu'on prolong;e ensuite chaque ordonnee, jusqu'a ce qu'elle devienne ^gale a la 

 corde Y{x^-^y^) = Yax, et cette nouvelle ordonnee qui soit nomm^e z = "|/aa; marquera une 



