Sur les logartthmes des nombres nigatifs et magtnatres. % 273 



une parabole. Mais cette description de la parabole ne s'^tend pas au-dela du cercle, quoique la 

 parabole mcme s'etende a rinftni. Cette circonstance prouve cncore, qu'il n'est pas toujours sur de 

 juger de la vraie forme d*une ligne courbe et de toutes les parties qu'elle renferme, par quelque 

 construction qu'on cn puisse donner. 



§ 12. D'aiIIeurs, la methode meme de juger de toutes les parties qui appartiennent a la meme 

 ligne courbe, n'a proprement lieu que dans les courbes algebriques. Gar, apres avoir d^Iivr^ Te- 

 quation qui exprime la nature de la ligne courbe de toute irrationalite , on consid^re T^quation 

 rationnelle qui en resulte, si elle renferme des facteurs rationnels, ou non. Dans le premier cas, on 

 juge que la courbe est composee dautant de courbes differentes qu'il y a de facteurs: mais si Te- 

 quation n*est pas resoluble en facteurs rationnels^ on couclut que tous les points qui sont marques 

 par cette equation, appartiennent a la meme courbe. Cest pourquoi, quand il sagit de courbes trans- 

 cendantes, puisque Tequation meme n'est pas algebrique, on ne saurait pas meme former la question, 

 si elle a des facteurs rationnels, ou non, et partant le jugement des parties qui appartiennent a la 

 meme courbe n'a plus lieu, si ces parties ne sont pas immediatement liecs ensemble. Et partant, on 

 n'est pas en etat de decider si la logaritbmique a deux branches egales qui se rapportent de part 

 et d'autre a la meme asymptote, ou non. Au moins doit-on conyenir, que cette decision, quelle 

 qu'elle soit, n'est pas necessairement liee avec le sujet en question, de savoir si les logarithmes des 

 Dombres negatifs sont reels ou imaginaires. 



§ 13. Les logarithmes sont fondes sur un nombre constant, pris a volonte et dont on suppose 

 le logarithme =1. Soit ce nombre e, et que x marque le logarithme du nombre y de sorte que 

 x = lyy et alors on aura j=e*^. Donc le logarithme x d'un nombre propose =y n'est autre chose 

 que Texposant de la puissance de e qui est egale aii nombre y. Dans les tables vulgaires, on sup- 

 pose ce nombre arbitraire e=10, et alors x sera le logarithme du nombre j, si 10*=j, et daus 

 les logarithmes qu'on nomme hyperboliques et dont la propriete est que, si co marque une fraction 

 infiniment petite, le logarithme du nombre i -♦-« est egal a «, le nombre e, dont le logarithme 

 = 1, devient egal a 2,718281828459. Or, quelque valeur qu'on donne a ce nombre e, pourvu 

 quelle soit >► 1, on voit de la formule y = e% que, toutes les fois que y est un nombre affirmatif, 

 11 est possible d'assigner a x une valeur reelle, de sorte que c"^ devienne egale a y. Mais il est 

 aussi evident que, si y est un nombre negatif, on ne saurait trouver pour x une valeur reelle, de 

 sorte que la puissance e"^ devienne negative et = a j. 



§ H. II est vrai cependant que si x est une fraction d'un denominateur pair, la puissance, ou 

 plutot la racine e* puisse etre prise tant aflirmativement que negativement, de sorte que, si le loga- 

 rithme £c est =— , le nombre y, dont le logarithme =^, puisse etre aussi bien = — ye que 

 = -♦- >/e. Mais cette ambiguit^ ne se rencoutre que dans les cas ou x est une fraction dont le 

 denominateur est un nombre pair: et si le logarithme x 6tait =2, il serait certainement faux, que 

 2 fut le logarithme de y ■= — ee, puisque — ee n'est nullement egal a ee: et partant il faut au 

 moins avouer que les logarithmes des nombres negatifs en g^neral ne sont pas reels. Mais pour ce 

 qui regarde 1'ambiguite de la formule e*, dans les cas ou x est une fraction d'un denominateur pair, 



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