23^. * L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



je ne sais pas si on la peut admettre dans les logarithmes. Car, ayant egard a la nature et a 

 Tusage des logarithmes, il semble qu'a chaque logarithme ne puisse repondre qu'un seul nombre. 



§ 15. Quoi qu'il en soit, on ne prouvera jamais, par de semblables raisonnements , que le 

 logarithme de — 1 est egal a celui de -*- 1 ou a zero, puisque e" ne peut avoir d'autres valeurs 

 que H- 1. Si quelqu'un disait que e^ peut etre regarde comme e^ e% partant comme Ve'^ ou Vi, 



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ce qui serait tant — 1 que h-1, on pourrait, par la raeme raison, prouver que x^ etant =x^ serait 

 i^gal tant a -i-cc qu'a — x, et de plus que a-*~x serait la meme chose que a — x, et on pourrait 

 soutenir, par le meme argument, que toutcs les quantites sont ^gales entre elles. Mais si le loga- 

 Tithme de — *- 1 n'est pas =0, il sera necessairement imaginaire; et puisque — y= — 1. y, nous au- 

 rons l{ — y) = l{ — i)-i~ ly, d'ou il est clair que, Je log. de -i-y 6tant r^^ le log. de — y doit 

 absolument elre imaginaire. vc Hr^^^l^ .^^-no-r *)trtn:r :;iV '?7;:<:;t'- ,r-r 



§ 16. La thcsc qu'c'i tout logarithme x ne puisse repondre qu'un seul nombre y, sera eneore 

 confirmee, quand on considere la resolution de la formule e^ en cette s6rie - 



e = 1 H-£C-*-T^ 



1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3.4.5 

 e etant le nombre dont le logarithme hyperbolique est =1. Cette serie ^tant regardee dans Tana- 

 lyse comme tout a fait ^quivalente a l'expression e% on ne saurait douter que sa valeur ne soit de- 

 terminee, d^s qu'on donne a x une valeur donnee, puisque cette serie est toujours convergente, 

 quelque grand nombre qu'on substitue pour x. Et par cette raison, on est en droit de soutenir, quen 

 tant que Texpression e^ marque le nombre dont le log. =x, elle ne renferme jamais aucune ambi- 

 guite, et que sa valeur est toujours unique et affirmative, quelque fraction qu'on prenne pour cc, de 

 sorte que, bien que x soit une fraction comme ^? Texpression de e* n'aura toujours qu'une seule 

 yaleur affirmative. 



§ 17. Si Ton voulait insister, que la formule e^, au cas cc = — , eut une double valeur, et 



que -^ fiit le logarithme tant de — Ve que de -t-Ve, il s'en suivrait que les logarithmes des 



. . 1 1 



nombres imaginaires sont pareillement reels. Car supposons 0? = ^» ^* ^^" sait que la formule ca 



renfcrme trois valeurs 



3 _l^y_3 3 ,_1_V_3 8 



Vey 2 ^^' 2 ^^ 



1 1 -l 



de chacune desquelles le log. serait = — • Supposons « = x ®* ^^ valeurs de y = ei seront 



'-<^^'-"^ ^e, — fe,""4-y'^^rt/6, -V-l>/e. 



Donc nous aurions ' li-+-V — iye) = l{ — V — iye)=— • 



4 4 1 



Mais lye = —le = — , d'ou il suivrait que IV — ^1 = 0. Or M. Bernoulli ayant fait cette belle 

 d^couverte que ,_ marque la quadrature du cercle, puisque Y — 1 est imaginaire sans contredit, 

 il faut que ly — 1 le soit aussi, et personne naura moius de droit que M. Bernoulli lui-meme, 

 de soutenir desormais que l V— 1 soit = 0. 



