Sur les iogartthmes des nomhres n^gatifs et tmagmaires. 275 



§ 18. Ayant donc fait voir, que personne n'a encore suffisamment prouv^, que les logarithmes 

 des nombres n^gatifs soient r^els, mais que plutot le sentimcnt oppos6, selon lequel les logarithmes 

 des nombres nc^gatifs sont imaginaires, est conforme a h lirit^i, je proposerai les difQcultcs qu'on 

 rencontre dc part et dautre, soit qu'on soutionne que les logarithmes des nombres negatifs sont 

 reels, soit qu'on les preune pour imaginaires. Ces difficultes paraitront si fortes et meme tellement 

 rcmplies de contradictions, qu'on comprendra a peine, commcnt il sera possible de se tirer d'affa1re 

 et de mcttre la theorie des logarfthmes a TalM-i de toute attaquc; or j*esp6re ucanmoins en venir a bout. 



5J 19. Si Ton veut avec M. Bernoulli, que les logarithmes des nombres n^gatifs soient lcs mdmes 

 que ccux des nombrcs affirmatifs, ou, ce qui revicnt au meme, que l( — 1) = 0, on trouve la diffi- 

 culte suivante: Ou ii est vrai que la^=xla gencralement, ou non: s'il est vrai, il y aura de mcme 



l(-^if=xl{—i) = 



ce dont on sera aisement d'accord, si x est un nombre enticr. Mais si x est une fraction, on aura 

 aussi lY — 1 = 0, et par consequcnt, la reduction de M. Bernoulli des arcs de cercle aux loga- 

 rithmes imaginaires scrait fausse; cc qui serait absurde, puisque cette decouvcrte est etablie sur 

 les plus solides demonstrations de ranalyse. Mais si l'on nie que la^^^xla, on renverse toute la theorie 

 des logarithmes: car quoiquon voulut admettre la resolution la^^^xla aux cas que cc fut un 

 nombre entier, elle deviendrait pourtant tout a fait inutilc, si x marquait un nombre en general 

 ou inconnu. ■ > 



§ 20. Qu'on dise donc avec M. de Lelbnitz, que les logarithmes des nombres negatifs ne 

 sont point reels, mais imaginaires: et Ton s'apercevra bientot qu'on retombe dans le meme embarras. 

 Car soit l{ — l)=jo, de sorte que p soit un nombre imaginaire, et Ton ne pourra nier que 

 l{ — iy=npj surtout quand n est un nombre entier. Soit donc n=2, et nous aurous 



l{— iy=l {-+.{) = 2p. ■,,: 



Mais dans la doctrine des logarithmes, cest le premier principe que i(-Hl) = 0; par conscquent, 

 il y aurait 2/) = et partant /> = , ce qui est contraire a rhypothese. On prouvera de mcme que 

 ly — 1 , l ~ ~ et les logarithmes des plus hautcs racines de Tunite devraient tous egalcment etre 

 = 0, d*ou resulteraient les memcs contradictions qui se sont rencontrees dans rhypothese precedente. 



§ 21. Voila donc des contradictions asscz palpables qu'on rcncontre, de quelque c6t6 qu'on se 

 tourne; je ne doute pas, que la plupart des mathematicicns ne s'en soient apercus, bien quils n'aient 

 pas juge a propos de publier leurs doutes sur cette matiere, de peur de rendre Tanalyse trop 

 suspecte, sils n'etdient pas en etat de sauver la theorie des logarithmes. Car ce serait sans donte 

 une tache indelcbile dans Tanalyse, sr la doctrine des logarithmes etait tellement remplie de contra- 

 dictions, qu'ii fut impossible de trouver une conciliation. Aussi y a-t-il long-temps que ces diffi- 

 cuites m'ont tourmcnt^, et je me suis fait plusicurs iilusions ia-dessus, pour me satisfaire en quel- 

 que maniere, sans etre oblig6 de rcnverser tout a fait la theorie des logarithmcs. Jc me suis imagine, 

 que de meme qu*une quantite admet toujours deux raciucs carrces, trois racines cubiques, quatre 

 racines biquadratiques etc. ainsi une quantitc pourrait avoir une double moiti^, un triple tiers, un 

 quadrupie quart etc. dont Tun seulement serait reel, les autres imaginaires. Ainsi posant ly=x^ je 



