276 L. EULERI OPEIU POSTHUMA. Anaiym 



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concevais que lyy = —xetl{ — yj) = ^ 



et que -^x et r^a;' puissent etre differents, quoique le double de l'un et de Tautre soit le meme 

 = £c. De la meme maniere, pour les trois racines cubiques de y, il serait 



ou — cc, —03' et — cc" soient des nombres differents, le premier —x reel, et les deux autres ~x' 



3 3 3 " o 



et -^a;" imaginaires , bien que le triple de chacun soit =x. Cette explication me paraissait bien 

 extremement paradoxe et insoutenable , mais pourtant moins absurde que les contradictions que j'au- 

 rais ete obligc d'admettre dans la theorie des logarithmes des nombres negatifs et imaginaires. 



§ 22. Ayant fait bien sentir rimportance de toutes ces difficultes qui se trouvent dans la doctrine 

 des logarithmcs et qui meme paraissent des contradictions ouvertes, on aura de la peine a com- 

 prendre qu'il soit possible de lever toutes ces difficultes, sans porter aucune atteinte a la certitude 

 de Tanalyse et des regles sur lesquelles elle est fondee. Cependant la verite est trop solidement 

 6tablie, pour qu'elle puisse etre assujettie a aucune contradiction, et ce ne sont que les manieres 

 peu justes, dont nous Tenvisageons, qui peuvent nous eblouir. Souvent, il est si difficile de s'a- 

 percevoir de ce defaut de justesse qui se trouve dans nos idees et qui nous fait voir de si grandes 

 difficultes, qu'il nous semble tout a fait impossible de sauver la verite. Cela est precisement le cas ou 

 nous nous trouvons par rapport aux logarithmes des nombres negatifs et imaginaires; car, apr^s avoir 

 bien pese toutes les difficultes que je viens d'etaler, j'ai trouve qu'elles ne viennent que de ce que 

 nous supposons que chaque nombre n'a quun seul logarithme. Car si cette supposition etait vraie, 

 il serait bien certain, qu'on ne saurait gu^re trouver le moyen de se tirer de Tembarras ou cette 

 matiere nous jette. Mais, d6s que nous accordous qu'un nombre peut avoir plusieurs, et meme 

 une infinite de logarithmes, alors toutes les difficultes menlionnees perdent leur force et s'evanouis- 

 sent tout a fait, et Ton reconnaitra la plus parfaite harmonie entre toutes les verites. 



§ 23. Je dis donc que, quoique le nombre dont on suppose le logarithme =1, soit deter- 

 mine, cbaque nombre a neanmoins une infinite de logarithmes, dont tous, a Texception d'un seul, 

 sont imaginaires, si le nombre est affirmatif; mais s'il est negatif ou imaginaire, tous ses logarithmes 

 seront egalement imaginaires. En consequence de cela, le logarithme de Tunite sera non seulement 

 = 0, mais il y aura encore une infinite de quantites imaginaires, dont chacune tient aussi bien 

 lieu du logarithme de runite, que 0. Soient donc tous les logarithmes de Tunite 

 ~!;^*'" 0, a, /?, y, d, s, ^, V, &, etc. 



et puisque le logarithme de la racine carrce est la moitie du log. de la puissance, Yi ^tant tant 

 -+• 1 que — 1 , les logarithmes de la premicre valeur -+- 1 seront 



0, i^, 4 5, l^, \&, etc. 



et les logarithmes de.Viauti:e valeur — 1 seront: 



11 . . 



o«> -H^r, o-f, -^v, etc. 





