Sur les hgartthmes des nombres n^gatifs et tmagmatres. 277 



qui sont differents des prec^dents, quoique leurs doubies donnent les logarithmes de Tunit^. De 

 mSme, prenant les racines cubiques, il y aura: 



li = Oy jYy -^, ji, etc. 

 l 2 =y«, -^, -7?, etC. 



l—^ =3^> 3^' 1^^ «*^- 



et cette consid^ration d^truit deja la plupart des difBcuIt^s qui nous ont embarasse auparavant. 



§ 24-. Pour prouver cette pluralite inOnie des logarithmes qui r^pondent a chaque nombre, on 

 n*a qua regarder le grand rapport qui se trouve entre les logarithmes et les arcs de cercle: puis- 

 qu*on sait que les arcs de cercle se peuvent exprimer par logarithmes Imaginaires, et r^ciproquement, 

 les logarithmes par les arcs imaginaires du cercle. Donc, parce que les sinus ou cosinus repondent 

 aux nombres et les arcs aux logarithmes, comme le meme sinus se rapporte a une inOnite d'arcs 

 differents, ainsi il s'en suit que le meme nombre se doit rapporter a une infiDite de logarithmes dif- 

 ferents. Nous connaissons mieux le cercle que la courbe logarithmique, et par cette raison, la con- 

 sideration du cercle nous conduira a une plus parfaite connaissance des logarithmes, que la logarith- 

 mique meme; de plus, dans le cercle nous pouvons determiner tous les arcs qui repondent au meme 

 sinus ou cosinus, et quoique ces arcs, dans le passage aux logarithmes deviennent imaginaires, ils 

 ne laisseront pas, en nous convainquant de rinfinite des logarithmes, de nous donner a connaitre 

 leurs expressions et les especes de non-realite, sous lesquelles elles sont eomprises; et c'est tout 

 ce qu'on peut souhaiter pour Tintelligence d'une quantite imaginaire. 



§ 25. Soit g> un arc quelconque d'un cercle dont je suppose le rayon = i . Soit x le sinus 

 de cet arc, et y son cosinus, de sorte que y — y(i — x^); donc, nommant la peripherie de ce cercle 

 = 2n:, ou Tarc de 180*^=7r, il est clair, que tous les arcs compris dans cette expression generale 

 zt:2n7i-¥-q) auront non seulement le meme sinus =a;, mais aussi le meme cosinus =;y=T/(l — a5*)> 



/£7* dsi 



pour^-u que n signiue un nombre entier quelconque.^ Or, puisque dy = — = y ^ ■, qu'on sup- 

 pose x = zV — 1, et lon aura dy = ,' ~ ^ • Mais on sait que j , ' =l(y{i-^z^)-i-z)-*-C, 

 Par consequent, nous aurons ^ = y — 1 l (y{i — x^)-t--^ — -)-¥-Cy oii il est clair que la constante 

 C est =0, puisquen mettant a? = 0, Tarc cp doit s*evanouir de meme. Ayant donc 



9^ = y— U(V(I — a;^) — icy— 1), nous aurons (p = y^l(y{i -^ x^)-*-xy—i) 

 ou bien g) = y-— l [y -*- x y — 1). • 



§ 26. Cette equation que nous venons de trouVer, exprimant le rapport entre Tarc 95 et les 

 sinus et cosinus, aura aussi lieu pour tous les autres arcs qui ont le meme sinus x et cosinus y, 

 par consi^quent nous aurons 



9Jit:2n;r = y4-^((y-»-a;y — 1) et partant 7 (^~*- £cl/— 1) = (r/) zfz 2/i;t)i/— I. 



Dou il cst clair qu'au meme nombrc y-t-xy — 1 r^pond une infinite de logarithmes, qui sont 

 tous compris dans cette formule generale {cp z±z 2nrr) V — 1 , ou a la place de n on peut mettre tel 



