278 .?.>i .>L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



nombre entier quon voudra, Puisque x est le sinus et y le cosinus de Vare y, posons aj;==sii|.^ 

 et y = cos^f et nous aurons cette 6galit^ ^onbRi kd! inruioia .-lifAm 



l (cos 9!?, -H sin (p Y- — 1) = (^ zt 27i7r) V — 1 . 



§ 27. De cette equation j'examinerai les cas principaux qui foumiront assez d'eclaircissement 

 sur cette matiere. Soit donc premi^rement: 



^ = , et i! y aura cos 9? = 1 et sin ^ = , 



et reqiration trouvee nous donnera: y.-d) j>. 



il==b2jfn;V— 1. 



Donc, posant pour n successivement tous les nombres entiers, les logarithmes de runit^ seront 



n=0, ±27tV—t, z±zkny—i, ztGTTl/— I, ztSjry— 1, etc. 



d'oii nous voyons que, quoique le logarithme de 1 soit =0, comme tout le monde le sait, il y 

 en a une infinite d'expressions imaginaires dont chacune est aussi bien le logarithme de runite, que 0. 



§ 28. Cette seule consideration nous met en etat de donner tous les logarithmes de chaque 

 uombre affirmatif qu*on puisse proposer. Car soit a le nombre propose et a son logarithme hyper- 

 bolique qu'on trouve par les methodes ordinaires ; et puisque la = li -+-?a = a-+-n, tous les lo- 

 garithmes du nombre a seront: 



la = a, «±2711/— 1, a±kn-V — 1, «±6;^"/— 1, ait:8;ry— 1, etc. 

 dont tous, excepte le premier a, sont imag-inaires. II faut remarquer, que je ne parle ici que des 

 logarithmes hyperboliques, auxquels on est conduit par Tintegration; mais, puisqu'on sait que les 

 logarithmes de diverses esp^ces observont toujours un rapport constant entr'eux, tout ce que je 

 viens de dire et tout ce que je dirai des logarithmes hyperboliques s'appliquera aisement aux loga- 

 rithmes tabulaires 011 Ton met nO= 1, ou a toute autre espece de logarithmes. 



§ 29. Soit maintenant Tarc propose (p de 180'^, ou soit (p = Tt, et nous aurons sin g) = et 

 cos cp = — i. Cette supposition faite, requation generale trouvee se changera en cette forme 



^ (— 1) = (tt ± 2/irr) y— 1 (= 1 zb 2«) TT y— 1 , 

 d'ou nous tirons toute rinfinite des logarithmes du nombre negatif — 1 , car nous aurons 



i(— l) = =t7ry— 1, ±37t-|/— 1, ±5;rl/~l, ^zlTvV—i, etc. 

 et de la nous voyons clairement, que tous les logarithmes de — 1 sont imaginaires et tous differents 

 des logarithmes de -t- 1. Cela non obstant, les logaritbmes de ( — 1)^ qui seront 



±2tiV—^, ±QnV—i, ±10;Ty— 1, etc. 

 sont visiblement contenus dans les logarithmes de -1- 1 ; ce qui suffit pour sauver les contradictions 

 apparentes dont j'ai fait mention la-haut, quoiqu'iI n'en suive pas reciproquement que les moities de 

 tous les logarithmes de -*- 1 soient logarithmes de — 1 : ce que la nature meme des quantites ne 

 permet pas, puisque — 1 n'est pas la seule racine carree de -t- 1. 



Jiio/ g 30 Qn s'assurera a present aisement, que tous les logarithmes de tous les nombres negatifs 

 sont imaginaires. Car soit — a un nombre negatif quelconque, et soit a le logarithme, trouve par les 



