Sur les logarithmes des nomhres nigalifs et imaginaires, 279 



m^thodcs ordinaires, du nombre affirmatif H-a, de sorte que i (-»- a) = ce, et parce que 

 l{ — a) = la-^l{ — 1), nous aurons tous les logarithmes du nombre n^gatif — a exprim6s ainsi: 



l{—a) = azt:7iV—i, adzduV^i, «rt Stt V— ii « ± Ttt V^ I , ' et<;"'^^''^ *^ 



qui sont tous imaginaires. Par i^ donc la question, agit6e entre MM. Leibnitz et Bernoulli, de 

 savoir, si les logarithmes des nombres negatifs sont reeb, ou imaginaires, est decidee en faveur 

 du premier, qui les soutient imaginaires, et toutes les objections que M. Bernoulli a 6Iev6es contre 

 ce scntiment, n'ont plus aucune prise sur cette decision. 



§ 31. Je vais plus loin, et apr6s avoir d^termin^ les logarithmes des nombres tant affirmatifs 



1 



que ncgatifs, je passerai aux nombres imaginaires. Soit, pour cet effet, ^=— tt, et nous aurons 



cos ^=0 et siny=l, d'<Hi nous tirons 



^y— l==4^±2/i7r)y-l=(±2n-i-i);ry-l, . 



et partant tous les logarithmes de -h V — 1 seront 

 i(-*-y-l)=^7ry— 1, — |;Ty-l, -t-l^ry^l, — I;,y_i, ^|.;ry— l, etc. 



Mais si lon met g) = — ^tt, a cause de cos9? = et sin^ = — 1, nous aurons: 



^ l{—V-i) = {—^7vdt2n7i)V-i. 

 et par consequent 



i(-y— i)=—4^y— 1, -^|7ry— 1, .-|;i;y-.i, ^l^y-A,. «tc,, . „.. 



D'oii il est evident, quajoutant les logarithmes de -4-y — 1 et — V — 1 enseinbW'^'^(itii' lH^(tff 'li^ 

 logarithmes du produit =-i-f , on obtient les memes logarithmes que nous avons trouves pour -f-1. 



Et si lon soustrait les logarithmes de — V — 1 des logarithmes de -*-V — 1, pour avoir les loga- 



_,_y' 1 



rithmes du quotient -—y — j-= — 1, on aura les logarithmes trouves pour — I. 



§ 32. Soit, outre cela, 



9P = yTT, et il y aura 00^90 = — et sm(p = -^> 

 doii nous tirerons . , ^,«^4^« 



2 ^ J 



1 -T- /— 3 

 de sorte que les logarithmes de '-^ — seront 



^tW-3_^|^^2n;r)y~l, 



i — 2 — =j^y— -1, — yTiy— 1, — g-jry— 1, — -Tty— 1 



;0 »0 



-H— Try— 1, -*-.^7ry— 1, -4-^7iy— 1, etc. 



i 1 V3 

 Soit (p = — -^71^ et lon aura cos^?^— et sin 9? = ^j dou nous obtiendrons him Ha 



