282 v L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



"lO! [..I TJiJj ■i'''U.'. tilllO" ' 



XII. 



Probleiiia al^ebraicuin de inyeniendis quatuor numeriis, ex datis 

 totidem productis uniuiscujuisque lioruin numeroruin in sum- 

 mas triuiu reliquorum. 



Si quatuor numeri inveniendi ponantur v, x^ y, z, habebuntur sequentes quatuor aequationes: 



V {x-t-y~t-z) = a 

 x(y-t-y-i-z) =:b 

 y(y-i-x-i-z) = c 

 z {v -i- X 'i- y) = d 



Ex his aequationibus per regulas vulgares successive tres incognitae eliminari, et quarta ad resolu- 

 tionem aequationis perduci poterit. Verum cum nulla sit ratio, cur unam potius quam aliam quamvis 

 eligamus, quae iiltimo determinetur, nullam earum per aequationem finalem determinari convenit, 

 sed ejusmodi introducenda est nova incognita, quae ad singulas aequaliter pertineat, et ex qua in- 

 cognitae definiri queant. Sumamus ergo summam numerorum inveniendorum in hunc finem 



v-h-x-t-y-i-z = 2ty 

 atque hinc aequationes superiores abibunt in has: 



v(2t — v) = a = 2W — v^, inde v = t — y(tt — a) 

 x(2t — x) = b=2tx — x'^ x = t^y(tt — 6) 



j(2« — y) = c = 2«r— j2 y = t—-y(tt — c) 



z(2t — z) = d = 2tz — z^ z = t—y[tt — d). 



Eousque igitur solutionem jam produximus, ut ex unica quantitate t omnes quatuor numeros quae- 

 sitos expedite determinare valeamus, quare tantum superest, ut hanc quantitatem t investigemus, 

 quod fiet ex aequatione 



V -i-x-i-y -i-z = 2t 



substituendo loco v, £c, y, z valores per t modo inventos: 



, !^«_-y(tt_a)— •/(« — 6) — y(«— c)— y(«— (l) = 2« 

 unde oritur ista aequatio 



2t = y(it — a) -I- y(tt — 6) H- y(tt — c) -♦- •/(« — ^) , 



