Sertes maxm^ tdoneae pro cirdult quadratura prbxtme invenienda. 289 



3. ExcrcltaUssimus etiam calculator Lagnius, qui hunc calculum longissime est prosecutus, 

 angulum 30" aliis minoribus in hoc negotio praeferendum censuit; vcrum antequam ipsius seriei 

 terminos evolvere posset, ex mimero 12 railicem quadratam ultra 128 figuras decimales exactam 

 cxtrahere erat coactus; quem laborem certe 12 horarum spatio expedire haud potuit, quin potius 

 crediderim auctorem ei aliquot adeo dies insudassc, quandoquidcm summa, qua opus est, attentio, 

 cura relaxationcra tum rcvisionom pluriumque operationum repctitionem postulat. IToc autem labore 

 cxanthlato ipsius scriei 265 terminos ad minimum evolvere dcbebat; primo igitur numcrum Vl2 ad 

 128 figuras cxpressum continuo 265 vicihus pcr ternarium dividi oportcbat, ad quod negotium, si 

 cujusque figurac invcntioni et scriptioni unum minutum secundum tribuamus, quinque horac vix 

 sufficicbant. Deindc quotos hos singulos respcctive per numeros impares 3, 5, 7, 9, 11, 13, etc. 

 dividi erat ncccsse, quae opera, ob divisores contiuuo majores, ad minimum tempus duplo majus, 

 idcoque 10 horarum postulabat. Denique additio cum terminorum affirmativorum, tum negativorum 

 utraquc seorsim breviori quam quinque horarum spatio expediri haud poterat: sicque totus labor 

 Intra 37 horas omni adhibita diiigentia neutiquam potuerat absolvi. INullum autem est dubium, quin 

 auctor tempus duplo imo triplo majus impenderit. .. **-»-— \' 



h. Quemadmodura autera hic labor mirifice sublevari potuisset, jam pridera ostendi, ubi angu- 

 lum semirectum in duas pluresve partes^ dividere docui, quarum tangentes sint rationales. Ita cum sit 

 — = Ang. tang I = Ang. tang - -i- Ang. tang — > erit per duas scries ['iirn unvi) «lu i^»') inni. f 



^ ■ "ll 9131 onflio ISI J9 



' »u'>ciq »c«p • ^ .2«/. —- . . ;jni;t .-^nA 



quarum adeo prior magis convergit, quam praecedcns, ex tangcnte anguli 30" petita; ncquc hic ulla 

 extractione radicis opus cst, quae sola in calculo praecedenti laborem 12 horarum postulaverat. 

 Deinde priores utriusque seriei termini saltem multo minore labore evolvuntur, cum vel paucis con- 

 stent figuris, vel periodum in iis agnoscant, unde calculus admodum fit expeditus. Etsi autem hic 

 duas series in unam summam coliigi oportet, tamen quia magis convergunt, multo paucioribus opus 

 est terminis: ita si fractionem dccimalem pro tt ad 128 figuras justam desideremus, prioris seriei 

 terminos 210, posterioris vcro 132 capi conveniet, qui totus labor, praecedente ratione aestimatus, 

 vix 2k horas requirere videtur. ^ 



V, •,! .5... Deinde ex eodem principio, cum sit in genere •> 



Ang. tang - = Ang. tang ~ -*- Ang. tang ^^ ? 1 



1 I 1 



erit Ang. lang ^ = Ang. tang - h- Ang. tang - > ideoque i^Vf>99 .t#j^ (mn" r? j;»^. 



— = 2 Ang. tang — -f- Ang. tang — t 

 oi mjuiicD muiooimTji niuioiu;^iii2 <:i;iu:^iii:) ii* ' ''"P ,«i««dnb j)«s 



unde per duas series magis convergentes Gt ^'nf,v)l«fi« niuboni 



L. Euleri Op. posthnm». T. I. oy 



