290 aW^mj-im ^«ixL. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



»,fj')flz9 *9!r..nbf»t a.nu-i -^{(^— 3:^-»- 57492 — T^-»-^:^ — {17^ "^ «^c.). 



KuiJtMj niijj) .JiuJoq Liffirf 'nib^q/'» oii«qi* iKWir.it 'T>n rnoiodeJ r; 



Hinc ergo si valor ipsius tt ad i28 figuras justus colligi debeat, prioris seriei 132 terminos, poste- 



rioris vero tantum 75 terminos evolvisse sufficiet, horum autem 207 terminorum evolutio certe 



multo minorem operam requiiit, quam calculus a Lagnio subductus, extractione radicis, quae sola 



tertiam partem insumebat, exclusa. Ex quo totus bic labor vix 18 borarum esset aestimandus, nisi 



divisio per numerum \d aliquam molestiam crearet. 



1 

 6. Simili modo loco Ang. tang— > si non satis parvus videatur, minores introducere poterimus, 



o 



112 

 servatoque altero babebimus Ang. tang ^ = Ang. tang -=- -1- Ang. tang — j ideoque 



'l<r 



TT 



- = 2 Ang. tang - -+- 3 Ang. tang —> et 



16 /. ___ 4 4' 43_ 4^ \ 



II V 37121 ~*~ 57I212 7.1213 "*~§Ti21* 7 



V 3.49 ~*~ 5.49* 7.493 "*" 9.49^ ^*^7 



"U^nn hhi 12/. 1 1 1 



Verum etsi bic multo pauciores terminos assumsissc sufficiat, divisio tamen per majores numeros kd 

 et 121 omne fere lucrum adimere videtur. Neque adeo haec transformatio: 



2 1 3 



Ang. tang — = Ang. tang — •+- Ang. tang ^ 9 quae praebet 



^ = 5 Ang. tang y -i- 2 Ang. tang ^ 



calculo contrabendo inserviet; etiamsi enim series pro altero angulo vehementer convergat, tamen 

 indoles fractionis — laborem non mediocriter adauget, ita . ut praestare videatur scrtebus longe 

 minus convergentibus uti. Ini.o/.oii,. ■:;;!:!■ 



7. (iuando autem caiculo numenco est consuiendum, non solum ad convergentiam serierum, 

 quarum termini in summam colligi debent, respici convenit, sed potissimum ad facilitatem, qua sin- 

 guli termini per operationes aritbmeticas evolvantur: ita si seriei progi'essio geometrica sit admi.xta, 



calculus facillime expeditur, si hujus termini in ratione vel decupla, vel cenlupla, vel millecupla 



1 

 decrescant. Quamobrem seriei, qua angulus, cujus tangens est = --> ac raulto niagis ejus, cujus 



3 

 tangens est = ;^^ termini non sine ingenti labore evolvuntur, qui forte tantus est, ut quilibet ma- 



1 1 



luerit multo plures terminos serierum pro angulis, quorum tangentes sunt -5- ct — expedire, nequa- 



quam enim major convergentia laborem, quem singulorum terminorum postulat evolutio, compensare 



videtur. Sin autem ejusmodi angulis uti licerct, quorum tangentes essent — > — > — > etc. nullum 



est dubium, quin praeter majorem couvergentiara, etiam calculus singulorum terminorura rairum in 

 modum sublevaretur. Jii »«« <5«»i^ *i»4*4» liHj t»i>ii.i 



