Sertes maxme tdoneae pro circuli quadratura proxtme mvenienda. 291 



8. Hunc autem usum egregie praostat alia serici forma, qua arcum circularem ex data ejus 

 tangente exprimere licet. Deduxi autem hanc seriem ex consideratione formulae differentialis 



y^~^ ponendo ejus integrale /^(j^)^^:^^! — o^^). 



Hinc enim fiet diffcrentiando '='• ""'»'•) i» ^'in-yi -iiini) 



jj ...-.» '!-.^i/'> ftuiii(| mu^ 



dx = dz{i — xx) — xzdx, seu ,- ( I — xx) — xz — 1=0. 



"^ ■l<vn[ 129 09lli «JfUip 



Statuatur nunc zz= ^x-t- Bx^ -*- Cx^-^ Dx^-t- Ex^^-h-elc, mvjViUii 'm'\iii*inu\ 



dz 



atque hinc colligemus -— A -+- 35a;aj-+- 5 Ccc^*-i- 7/)ic^-H 9 Eic^n- etc. rwm JsUon^G .U 



— ^= — ^iccc — 3fi(E*— 5Caj«— 7i)a;«— etcr 



"* "^s §0*1 .^giiA f = Tv Bia-ioi 



— £cz = — Axx — Bx'' — Cx^ — Dx^ — etc. 



Singulis ergo terminis ad nihilura redigendis invenitur 



A = i, B = \a, C = ^B, D=lc, E = |d, etc. , ' , . 



.. . •* A • -.//4 \ /4 2 , 2.4 , 'i.l.e 6 2.4.6.8 „ , . 



ito ut sit Ang. sinx = ajy(l — ag£c).(l ~^j^'-*-^^-^-^-^^-^ ^ 5 ^ ^ x^-*-etc.). 



9. Sit jam — tangens hujus anguli, cujus sinus positus est =cc, eritque 



aj = — — - et yii — xx)=^^ -, 



y{mm-t-nn) ^ ' y {^m-i-ivK^ 



ita ut irrationalitas jam ex calculo excedat fiatque 



. ^ nt mn /. 2mm 2.4.m* 2.4.6m' N 



Ang. tang — = ( l -♦- — — - -1- -—- —^ -+- r-=-ir^ rj -H etc. ), 



^' " n mm-*-nn \ 3(mm-i-nn) 3.5(mm-i-nn)* 3 .5.7(mm-l-nn)'' / 



t», 



quae series non solum magis convergit quam vulgaris ante usitata :: . 



. m m r ^ m"- m*' m^ m^ ^ \ \ ''»>« "i 



Ang. tang-^ = ~ (1--, -4-^-^-^-1- -3 -etc.j, ^ ^ 



sed etiam singuli termiui fere pari facilitate evolvuntur, quoniam continua muitiplicatio per fractiones 

 «-> Y' y ®*^- °®" difficilius instituitur, quam divisio per numeros 3, 5, 7, 9, elc. Tum veroy 

 in quo maximum commodum cernitur, in eo constat, si numeri mm-^-nn ad dividendum fuerint 

 aptiores, quam simplices potcstates ipsius n, quod commodum imprimis in angulis supra exhibitis 

 locum habet. Haud minimi etiam in hac nova scrie est momenti, quod omnes terminos invicem 

 addi conveniat, cum ia vnlgari altematim debeant addi et subtrabi. 



anc igitur novam seriem angulos supra exhibitos evolvamus, atque obtinebimus: 



I. Ang. tang ^ = ^ (l 



inimt'») ili/jjni?' •♦iji 



1 3 



il. Ang.tang^=-(l 



,» 



p^n 



