Enodatto tnstgnis cujusdam paradoxi circa mulliplicationem anguhrum. 



299 



fifDlol 99iut is 



XIV. 



Enoilatio iiisigiiis ciUiisdani paradoxi cirea iiiiiltiplicationeiii 



aiisriiloriini observati* 



i. Sing-ularis est proprietas formularum, quibus cosinus angulorum multiplorum per cosinum 

 anguli simpli exprimuntur. Si enim anguli simpli y cosinus ponatur = ac, angulorum muitiplorum 

 cosinus ita se habent: 



cos Ofp= i 

 cos iy = X 

 cos 2(/) = 2xx — 1 

 cos3(p=kx^ — Saj 

 cos k(p = 8£c* — 8xx -♦- i 

 , cos5^=16a?* — 20x^-^5x 



cos Qcp = 32a3«— kSx^-^ iSra; — i 

 cos Tcp = &kx'^ — i I2a?^-+- 5Qx^ — 7x 

 cos 893 = i28(c«— 256«^ -4- IGOo;*— 32.ra; 

 etc. 

 unde concluditur fore in genere 





i 



eijMii 



COS Hip = 2" ' X 



2"-^ nx"—^ |,0/'-5**("~-'^)^»-4 on-7 n(n -4) (n- 5) ^„ 



' lamo n^met reuo 

 •u') :70ifiiiio« mammui 

 }*>r/ii[ . .{noieviMdo 

 -i-etc. . 



seu 

 cos 



n(p = 2"-'x"fi—-^^ 



X 



n(rt — 3) . 



-i — . „ a; 



n(n — 4)(n — 5) 



OJ 



n(n — 5)(n— 6)(n — 7) 



a? 



■— etc.) 



4.8 4.8.12 ^ 4.8.12.16 



ubi ratio progressionis facile perspicitur. 



2. Neque vcro binc concludere licet, hanc seriem eadem lege in intinitum continuatam cosinum 

 anguli rup exprimere, ita ut istius se^iei infinitae summa futura sit =cos ncp; sed quoties n est 

 numerus integer, sericm eousque tantum continuari oportet, donec ad exponentes ncgativos ipsius x 

 perveniatur, quippe qui termini omnes sunt rcjiciendi, iis solis ab initio scrici terminis rctentis, qui con> 

 stant potestatibus positivis ipsius x^ et numero absoluto, qui si n sit numcrus par, est vel -*-I, vel — i. 



INisi haec cautela observctur, in errorem delabimur, quin etiam casu n = expressio gcneraiis vc- 

 ritati adversatur; prodit enim 2~^aj"=^) cum tamen sit cosOy=l, quod certe insigne est 

 paradoxon. - ..;.** 



