300 a^mHffR i«Hv L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



3. Quo clarius etiam in reliquis casibus falsitas formae generalis perspiciatur, ponamus /i=l, 

 et haec forma evadet 



/ \ —2 1.2 —4 1.3.4 —6 1.4.5.6 —8 1.5.6.7.8 — 'o \ 



X\^l—-X —j^^X — ,^7^X ""4.8.12.16^ "^4.8.12.16.20^ — etC. j j 



quae cum sit < o?, cum veritate certe consistere nequit. Ut autem hujus seriei valor verus explo- 

 retur, ea ad hanc formam reducta: 



/. 1 —2 i.i —4 1.1.3 —6 1.1.3.5—8 1.1.3. 5. 7 —10 . N 



,, x{^i^jX -— 0. —4X6-^ -"4X678^ ^ 4.4.6.8.10 ^ -"*'•) 



ita exhiberi potest: .UB '^^^-o fUiriolll^t^^ 



1 /1-2 1.1 — ^» 1.1.3 -6 1.1. .3.5 -8 ^ N 

 X-jx{^-X -f-^O. -*-2:4r6^ -^2-74-678^ "*- '^'•> 



Gum jam sit 



nostra series hac finita forma continetur: 



X 



ita ut casu /i=I, seriei nostrae generalis summa futura sit = -t cum tamen sit cos \(p=x, 



Quin etiam, cum sit a; < 1 , patet seriei in infinitum continuatae summam adeo fore imaginariam. 



k. Idem etiam de quolibet alio valore ipsius n ostendi potest, unde eo magis mirandum est, 

 expressionem nostram generalem, si justa limitatione adhibeatur, ut omnes termini exponentes nega- 

 tivos ipsius X habituri rejiciantur, veritati esse consentaneam , et valorem ipsius cos n<^ praebere; 

 cum tamen omni extensione sumta et in infinitum continuata longe aliam atque adeo imaginariam 

 summam sortiatur: cujusmodi singulare phaenomenon nescio an in aliis analyseos partibus jam sit 

 observalum. Praeterea vero etiam^ quod haud minus est mirandum, notari convenit, limitatione 

 quoque illa adhibita, ut potestates negativae ipsius x rejiciantur, veritatem non obtineri, nisi n sit 

 numerus positivus integer; si enim n esset numerus negativus, ob omnes potestates ipsius x pro- 

 deuntes negativas, error foret manifestissimus, cum sit cos ( — n(p) = cosn(p. 



5. Sin autem pro n accipiatur numerus positivus quidem seu fractus, nullo modo inde veri- 



1 

 latem elicere Hcet. Sit enim w= — > et expressio nostra generalis hanc induet.CairnMan: 



Vx 

 72 



/. 1 —2 1.5 —4 1.7.9 —6 1.9.H.13 —8 ' ' <" ' » 



K S^ """^.l^^ "~8. 16.24^ ""8.16.24.32^ — eic. j ^^.^^^^:. 



unde etiamsi termini negativas poteslates ipsius x complexuri, omnes scilicct, praeter primum, ex- 



1 1 T/l-*-a; 



pungantur, tamen neutiquam inde obtinetur cosyf/?, quippe cum sit cos^(p = y—^' Multominus 



'■"'''^t/i-^x . ■' *''" ' ;■'' 

 autem reliquis terminis admissis veritati consulitur, dum series prodit formulae y— r— minime aequalis. 



6. Hinc igitur abunde liquet, quid de forma illa canonica 



