Enodatio insigms cujusdam paradoxi circa mulliplicationcm angulorum. 301 



on-1 /i/< n -2 n(n~3) -» „(ft_4)(n-5) —6 n(n-5) (n-6) (n- 7) -» \ 



apud plurimos auctorcs mirifice laudata, sit judicandum. Ea scilicct veritati nunquam cst consen- 

 tanea, nisi hae restrictiones adhibcantur: primo, ut n sit numorus integcr positivus, uhi quideni 

 etiam cyphra est excludenda; deinde, ut termini, in quibus exponens potestatis x fit ncg^ativus, 

 pcnitus extinguantur. Qui huic formulae plus tribuunt, eamque adeo ad casus, quibus n est nu- 

 merus ncgativus vel fractus, extendere volunt, maxime decipiuntur et in gravissimos errores illa- 

 huntur. Quae cum sint adeo manifesta, mirandum videtur, quod istae tam necessariae cauteiae, 

 quantum equidem memini, a nemine sint animadversae. 



7. Haec consideratio occasionem mihi praehct dupliccm investigationem suscipiendi. Primo 

 scilicet in veram summam nostrae expressionis gcneralis, siquidem in infinitum continuetur, sum in- 

 quisiturus, ut pateat, quantum ea quovis casu a valore cos nrp discrepet. Deinde similem expressio- 

 nem generalem investigaho, quae revera valorem cos nrp exhiheat, et nulla restrictione adhibita veros 

 cosinus angulorum multiplorum ipsius g) praebcat, ita ut singulis casibus, quibus n est numcrus 

 integer, formulae initio allatae prodeant, simulque veritas, quando n est numerus fractus vel nega- 

 tivus, obtineatur. 



8. Quo utrique instituto facilius satisfaciam, considero hanc formulam 



s = j{x-\-V{xx—i)y^ 



valorein ipsius s per sericm evoluturus, quae secundum potestates ipsius x procedat. Cum igitur sit 



y(xx — l) = a3 — r r-^ — etc, oh s=iJ(2x-r-^ — ^-^ — etc.r, 



obscrvo terminum primum futurum esse ^^"y^a;'*; in sequentihus autem exponcntes potestatis x 

 continuo hinario decrcscere, ita ut scries hujusmodi habitura sit formam 



s = aaj"-H /^x''-^ _^ ya;"-*-*- ^aj"-^-H 6x"-"»H- etc. 

 uhi quidem est a = 2"/^. 



9. Ad hanc autcm seriem commodissime eruendam, obscrvo aequationem assumtam per diffe- 



rcntiationem in aliam converli oportere, in qua tam potestas indefinita quam omnis irrationalitas 



ahsit, simulque quantitas s uhique plus una dimensione non sit habitura; hujusmodi enim aequatio 



facillime per sericm ccrta lege procedentcm resolvitur. Hunc in finem primo logarithmis sumendis 



ohtineo 1 .Si 



Is = lA -¥- nl (^x -\- Yixx — 1 )) ; 



tum vero differentiando: 



V = ('«'^ -+- y(Sf)) = ('^ -*- ^(^ - *)) = 7(^)- 



Hic sumlis qundratis erit '*'H9 



— = , 9 seu (xx — i) ds^= nnssdx^ , ^ 



M XX — 1 ^ ' 



quae aequatio denuo differcntiata , sumto elemento dx constante, et per 2ds divisa dat 



