Enodatio mstgnts cujusdam paradoxi circa muUiplicationem angulorum. 305 



o L 8 o A "~* L 3.1.2 —3 , 3.2.3.4 —5 



_^ 1 -8 13-5 



bincque cos 3^ = kx^-^ 3a3. 



,gic -4- 46 • ja: -f-etc. u.,8 



16. His autem excmplis casu evonire videtur, ut potestates negativae se mutuo tollant, neque 

 id pro terminis ulterioribus patet. Quamobrem, ne ullum dubium relinquatur, firma demonstratione 

 evincendum est, singulas potestates negativas ipsius x in utraque serie paribus coefficientibus signisque 

 contrariis esse affectos, ita ut certum sit omnes se mutno destruere. Hunc in finem utriusque seriei 

 terminum g-eneralem contemplemur, ac prioris quidem seriei ita repraesentatae 



„„_,„/, n -2 n(.3-n) -* n(4-n) (5-n) -6 n (5 -«)(6- n) (7-n) ^-« \ 



ilUJ 



terminus generalis colligitur fore: 



nn—^n—in n (c-H 1 — n) (gH -2 — n) (flH-3 — n) (2a— | — n) 



4 . 8 . 12 . 16 4« 



ita, ut potestatis x"~^" coefficiens sit ' V 



^ rt/i— 1 n(a-t-l— n)(a-f-2 — n)(a-H3 — n). ...(2a — 1 — n) 

 • 4 . 8 . 12 . 16 4a 



Quando ergo haec potestas est negativa, seu ^w^-zi, patet bunc tcrminum evanescere his casibus: 

 2a = /i-t-i, 2« = 71-1- 2, 2a = /1-1-3, usque ad 2a = 2ri — 2, si quidem « fuerit numerus 

 integer. Unde in priori serie omnium potestatum negativarunr coefficientes sponte evanescunt, nisi 

 sit 2c« > 2/1 — 2, seu « ;> /i — 1, quocirca docendum restat, si fuerit « ;> /i — 1, istas potestates 

 negativas per alteram seriem destrui, ila ut solae potestates positivae ipsius x relinquantur. ; . i . 



17. Alterius autem scriei, quae ita se habet 



2/1-1-1 a^ l^ 



n -''n (3-*-n) -i n (4-i-n)(5-^-n ) -6 n (5-Hn) (6-t-n) (7-Hn) -» 



T^ "* 4:8~* "* 478M2~ '^ "* 4.8.12.16 ^ ~*~ *^^' 



tcrminus generalis colligitur 



«—" — *^ n(/3-*-l-*-n)(j3-H2-t-n)(;3-H3-»-n) . . . (2/5-l-<-n) 

 ^2^-*-» 4.8. 12.16 .... 4i3 



unde potestatis nogativae cc""""''^ coefficiens est 



2 



!;p 

 _a_, n(/3-t-l-*-n)(/3-*-2-f-n)(/3-»-3-t-n) (2^ — 1-i-n) 



4.8.12.16 .... 4/3 7 



Statuatur jam haec potestas praecedenti £c"~*" aequalis, seu n — 2«= — /i — 2/9, fitque a=n-+-^; 

 sicque ipsae illae potestates negativae majores prodeunt, quarum coefficientes in priori serie non sponte 

 evanescunt. Ostondi ergo oportet, harum potcstatum coefficientes ex utraque serie ortos inter se 

 esse aequales et se mutuo destruere, ubi quidem jam sponte patet alterum esse positivum, alterum 

 negativum, ex quo utriusque aequalitas demonslrari debet. 



18. Cum sit a = n-i-/3, erit /i = « — /?, ideotjue demonstrandum est fore JiUfc.a ^uit<iii*i 



L. Ealeri Op. pMthumn. T. i. 39 



