310 .mmWv>«» L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



26. Pro insigni autem hac proprietate sequentem inveni demonstrationem , qua simul indoles 



t 1 



hujusmodi formularum penitius perspicietur. Ponamus hre\itatis gratia 2ic = — > ut sit cos 95 = 0-9 



atque ex superioribus habebimus 



/ , ' n /^ « •» n(n-t-3) « n(n-4-4)(n-*-5) g . \ 



Evolvatur haec ^eries secundum potestales indicis /t, fingaturque 



cosn^ — V — 1 sm n(p = j"(l -*- nP -+- nnQ -¥- n^ R -^ n* S -t- etc), 



quae forma quo facilius intelligi possit, novo signandi modo utamur, scilicet propositis quotcunque 

 numeris «, /3, y, d, etc. 



haec scriptio denotat 



(a, /9, y, d, etc.)^^' summam singulorum ce -♦- /? -4- / h- 5 -h etc. 

 («, /?, y, (\ etc.)*^' summam productorum ex binis 

 ^aJL-f-'>\ ("> /^» 7^ ^^ etc.)*'^ summam productorum ex ternis 



(«, /■?, 7, 5, etc.)**^ summam productorum ex quaternis 

 etc. 

 iibi observo si index suffixus aequalis sit multitudini numerorum, hac scriptidne omnium productum 

 exprimi, tum vero semper esse («, /i?, y, 8, etc.)^"^= 1. Hoc autem scribendi modo adhibito erit 



^— ^T^^ 2 ^ ^ 2.3 ^ ^ 2.3.4 ^^ 2.3.4.5 ^ -*" elC. 



^ (3)(«> 4 (4.5)(^> 6 (5.6.7)^2) (6.7.8.9)(') ^o 



R - (^'5)^^V 6 . (5-6.7>(^) , (6.7.8.9 )(^) ,0 



^— "273"-^ -*:"2T3T4-^,"*^ 2.3.4.5 ^ ^ ^^^* 



* • : • ) ^ =..: , 



^ (5.6.7)^0) (6.7.8.9)t»> ^^ 



^=SX4-^-^ 2.3.4.5 y^^-^^tc. 



" , • . i j: . '^ . 7 . o ■ . 



^ (6.7.8.9)<o> 10 

 ( 2.3i4.5 r 



etc. ' 



t 0. 



/• :• ! I 



27. Nunc autem observo fore simili modo 



cos Xncp — V — 1 . sin Xncp = y''" ( 1 -t- hiP -\- X^ n'^ Q -^ X^ n^ R -\- etc.) 



Cum autem sit, uti constat 5„tci! 



V js k. _, cos Xn<f —^ V — 1 . sin Xn^p = (cos ncp — V — 1 . sin n^)'^, 



erit quoque cos Xncp — V — 1 . sin A/k^ = y^" (1 -^ nP -¥- n^ Q -^ n^ R -i- eic.y 



ideoque 1 -h A/iP -h il^^^^ -h A^ /i^ /} -4- etc. = (1 -*- /iP -i- /t^Q -i- /i»fi -i- etc.)^ 



quae aequalitas subsistere neqiiit, nisi sit 



Atque hinc porro colligere licet, cum sit 



