Enodatio insigms cujusdam paradoxt eirca multiplicalionem angulorum. 311 



. — fM>y 1 



cos n^ — y — 1 . sin ny = e 

 nunc autem invencrimus 



cos n(p — V — i .smny = y- e =e 

 fore — goV— 1 =P-Hir^, ideoque ^g> = — {P -^ fyy ^ quod cum videatur absurdum, ita resolvi 

 oportet, quod P semper sit quantitas imaginaria; sicque explicatur paradoxon supra § 22 allatum. 



28. Verum ut ad propositum revertar, cum sit Q=ipp^ si brevitatis gratia valores § 2* 

 explicatos introducamus, erit 



/* =rr -»- ^r*-»- ^r*^-H Cr' -+-%'*-»- etc. 



aooion»} 



et Q= «jr* -^jSy^ -^ yj8 -t- ^jr< -H etc. 



unae valonbus ;; et — FP aequatis nanciscimur supra observatas relationes, scilicet 



« = V ^ = ^» y = i?-Hy^^, d=C-*-AB, e = D-+-AC-^^BB 



et ita porro. Hac igitur demonstratione confecta, aliarum similium formularum complicatarum reso- 

 lutionem coronidis loco subjungam. 



29. Problema. Hanc formulam « (1 -*-y(i — a?))'» in seriem infinitam resolvere secundum 

 potestates ipsius x progredientem. 



Solntio. Statuatur z = a{\ -!-•/( 1 — a?))" et posita serie, quae quaeritur, 



z — A-^Bx-^ Cxx -f- Das'-H Ex^ h- etc. 

 evidens est fore A = 2ra, unde sequentes coefficientes simili modo ut supra definire licebit. Sumtis 

 logarithmis habemus lz = la-^nl{i-\-y[i-^x)), et differentiando 



-^ - 7% 

 dz ndx , , ^ y , 



7=-273^:(«-^V(t-a»)). 

 Multiplicetur numerator ac denominator per 1 — "|/(1 — x) prodibitque 



di ndx{\ — V(\. — X)) ndx ndx 



« 2a: V{i—x) '^ 2a:/(l— «) 



et irrationalitatem tollendo 



'.'•iiJO 



P6natur r = a.^ ., ut sit ^ = ^ -^ ^ , fietque ^ = , "^ , , seu 



*xa;(1 — x)dv* = nnvvdx^, quae aequatio differentiata et per 2dv divisa praebeC 



itaKc ( 1 — . a;) ddv -i- 2aj (2 — 3x) dxdt' — /i/ic daj» = 0. ' •"*"'**'^ -^^ 



Cum nunc sit — = — — — ? erit differentiando 



V X 'ijx 



ddv dv* ddt dx* ndx^ 



V w X xt 2dR» . » 



