320 L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Analysis. 



I. Ou on choisit a volonte un nombre qui ne surpasse point 90, et on paie aussi une somme 

 dargent qu'on jugera a propos. Alors quand ce nombre se rencontre parmi les cinq qui seront 

 tir^s, 00 retirera un prix qui sera un certain multiple de la mise. 



II. Ou on choisit deux nombres a la fois, auxquels on attache une certainc mise, el en cas 

 , que tous les deux se trouvent ensuite parmi les cinq tires, on recevra un prix assez considerable a 



proportion de la mise. Or si Tun d'eux seulemeut se trouve parmi les cinq, on re^oit aussi un 

 prix moindre. 



III. Ou on choisit trois nombres a la fois auxquels on attache a volont^ une certaine mise, 

 et Ton peut s'attendre a un prix quelques mille fois plus grand que la mise, en cas que tous les 

 trois nombres se trouvent parmi les cinq tires; mais les prix seront moindres, lorsque deux des 

 nombres choisis, ou un seul sy trouve. 



Je ne me souviens plus de la grandeur des prix en detail qu'on paie en chaque cas, ce qui 

 n'importe rien aux recherches que je me propose de faire; mais on comprend aisement qu'ils pejivent 

 etre tr6s considerables pour le cas oii trois nombres qu'on aura choisis, se rencontrent parmi les 

 cinq tires. Et si Ton voulait admettre des quaternaires, le prix fixe pour le cas ou tous les quatre 

 nombres se trouveraient dans les cinq billets sortis, pourrait au dela de 100000 fois surpasser la 

 quantite de la mise. 



II est evident que ni le nombre 90 des billets, ni celui des 5 qu'on tire, n'est essentiel a la 

 nature de cette loterie, et qu'il est absolument libre d'etablir un nombre de billets quelconque, et 

 d'en tirer enfin plus ou moins que cinq, ce qui me mene a des recherches plus generales qui peu- 

 vent servir ou a former d'autres plans de telles loteries, ou a examiner ceux qui pourront etre pro- 

 poses par d'autres. 



Posons donc n pour le nombre de tous les billets marques des nombres 1 , 2, 3 . . . . w, et 

 quon en tire au hasard t, et tout revient a determiner la probabilite que d'un certain nombre de 

 numeros qu'on aura choisis, il se trouve ou un seul, ou deux, ou trois, ou enfin tous dans les t 

 billets qu'on va tirer. Or, selon le nombre des numeros, la determination de la probabilite qu'on 

 cherche, se reduit aux problemes suivants: 



1. Probleme 1. Le nombre de tous les billets ^tant =7i, dont on doit tirer au hasard t 

 billets, trouver la probabilite quun nombre choisi a volonte s'y trouvera. 



Solutloii. II est fevident, par les premiferes r^gles de la prpbabilite, que pour que le nombre 

 choisi se trouve parmi les t billets qu'on va tirer, le nombre de tous les billets 6tant =n, la pro- 



babilite est =— > et pour qu'il ne s'y trouve pas, la probabilite est = • Donc la solutioa 



fournit: que le nombre choisi , 



se trouve parmi les billets tir^s, la probabilite est — 





n — t 



•^ ^* quii ne sy trouve pas « » 



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jj, 2. CoroHalre 1. Donc, si le nombre de tous les billets est 90, et qu'on en tire 5, comme 

 dans le cas propos^ au commencement. 



