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L. EULERI OPERA POSTHIJMA. 



Anulysis. 



n — t 



_!!! — . Donc, pour que tous les trois nombres J, B, C se trouvent parmi les billets tires, la pro- 

 babilite est =— )^ .. „ ? or, que seulement J et B s'y trouvent, sans C, la probabilite est 



~ { i\(~Li\ ' ^^'^ '^ ^^^^ egalement probable quon y trouve seulement les deux Jl et C, ou les deux 

 B et C; donc, pour que deux seulement, sans distinction, se trouvent dans les t biilets tires, la probabilite 

 cst ==-^~-7rr-~~r^^' Ensuite, que le nombre J s\ trouve, la probabilite est = — ; mais que les deux 



n(n— l)(n — 2) * "^ ' r „' i 



autres fi et C se trouvent parmi les billets restants n — t, le nombre de tous devant maintenant 



fetre regarde comme n — 1 , la probabilite est 



{n — t){n — t—i) 



; donc, pour que le seul nombre A 



(n— l)(n — 2) 



s'y trouve, la probabilite est = _ m — 9^ > ^^ puisque chacun des deux autres, B et C, peut 



s'y trouver aussi problablement, la probabilite qu'un seul, quel qu'il soit, s'y trouve, est = 



3f(n — 0(» — f— 1) 



n(n— l)(n--2) 



ti 0p I 



D'ou nous concluons 



que de trois nombres choisis 

 tous les trois s'y trouvent . . 



que deux seulement s'y trouvent 



qu'un seul s'y trouve . . . 



qu'aucun ne s'y trouve . . , 



la probabilite est 



r(t-l)(f-2) 

 n(n— l)(n — 2) 



3t(t-^{){n — t) 

 V(n — 1)(» — 2) 

 St{n — t){n~t—l) 



Ji(n— l)(n--2) 

 (n - t) {n— t — l){n — t — '2) 



n(n-l)(n-2) 



•f^t' ' ig pi.obl^me 4. Le nombre de tous les billets etant =n, dont on va tirer t billets: si 

 Ton a choisi quatre nombres, determiner la probabilite, ou que tous les quatre, ou qae trois, ou 

 deux seulement, ou un seul, ou aucun dentre eux ne se trouve dans les billets tires. •.'"rv'o:fr 



' Solutioii. Designons les quatre nombres choisis par les lettres ^, B, C, D, et ayant deja 

 determine la probabilite que des trois nombres A, B, C, ou tous les trois, ou deux, ou un seul, 

 ou aucun ne se trouve dans les billets tires, nous n'avons qu'a combiner avec chacun de ces cas 

 la probabilite que le quatrieme nombre D s'y trouve aussi, ou non; ce qui nous fraiera le chemin 

 de pousser aiscment nos recherches a autant de nombres choisis qu'on voudra. Reprenous donc les 

 formules tronvees pour trois nombres A, B, C, et joignons y la probabilite que le quatrieme D s'y 

 trouve, ou non: 



que des nombres A, B , C il 

 se trouve dans les biilets tires 



tous les trois .... 

 ,u *'i V. ,/ deux seulement . . . 



(f — «;* yu seyj 



oioaii',» «iiv» 

 a:? aucuD j-jf jori(vtj.,e#(rw<^j. . 



De la nous deduisons la probabilite: 

 U 



la probabilite cst 



' t{t-\){t^% 



n(n— l)(n — ^>) 

 ^t{t- \){n-t) 

 n(n — l)(n— 2) 

 3((n-0(n~f — i) 



n(n— i)(n-2) 

 {n—t){n—t — \){n — t — % 

 n(n-i)(n-2) 



que le quatrieme D 



s'y Irouve 



f-3 

 n-3 



t-2 



ne s'y trouve pas 

 t 



n-3 

 f-i 



n — 3 

 t 



n- 



n-3 

 n-f-1 



n — 3 

 n — t— 2 



n — 3 



n— f— 3 



.(>** 



n-3 



»110lfl'4* 



